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sin am ir) = étang <p = etangam(??, x), 

 am(^x') = y , 



d'où 



c'est à dire 



'/ 



•*• dip 



r ds 



{]/l-K"zin*y> 



ce qui donne 



tang am irj . sin q> n cos cp o . sin g> cos cp n , «ç n 



z/anu'rç [/l -x' 2 sm*(p cosq> 1 aç t 



Substituant cette valeur dans l'expression précédente de J7 et introduisant en- 

 suite les valeurs de F et JT dans l'équation (11), celle-ci devient 



= ± 

 Si l'on fait 



coscn +cosfP, .„. \ i, ©(u — iri) 



~—— — ±iZir>)u ± ö log ,.) 



sin<p cos(p V ^ & ©(« 



av _ . \ ê , ©(m — £w) 



~+^))«±2 lo g^^) 



/— COScp +COSCP, .„. \ «, ®0 



(h) x - x = — r-^— — ^- + tZïw « ± ö log „} 



v ' \ sin<p o cos(p V 2 => è)(-w + «rç) 



a« \ ê ®{u — erç) 



2 = e~ K 



K et K' étant les intégrales elliptiques complètes de la première espèce rela- 

 tives aux modules % et %', les fonctions & et Z peuvent être définies par les 



séries 



, v nu 2nu „ 3 nu ') 



@(u) =1-22 cos ^ + 2q cos -^- - 2tf cos -— + • • • 



. . ®'(u) 2ff/ q nu q 1 2rtu q 3 . 3nu \ *) 



Z W = ëÇÇ" = Tlnr^^-F + nr7^m— + nr? sm -- + -]• 



L'expression ?'Z^ est, malgré sa forme, effectivement réelle, car on a 

 iZ(it], k) = — tang am (y, x')J am (rç, k ') + g^p + Z(t], k') . 3 ) 

 Introduisant cette valeur dans l'équ. (14) et observant que 



taug am (»7, z')Jam(i/, »') = tang <p o cos <p, , 

 il vient 



l ) Jacobis gesammelte Werke, herausgeg. von Borchardt, I, p. 231. 2 ) Ibid. I, p. 187. 

 3 ) Ibid. I, p. 215. 



