In der posthumen RiEMANN'schen Abhandlung „Ueber die Fläche vom 

 kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung" wird insbesondere die Aufgabe 

 behandelt, ein Minimalflächenstück analytisch zu bestimmen, dessen nur aus 

 geradlinigen Theilen bestehende Begrenzung vorgeschrieben ist. Bei der Be- 

 handlung dieser Aufgabe ergibt sich, dass im Innern und auf der Begrenzung 

 eines der angegebenen Bedingung genügenden Minimalflächenstückes Singula- 

 ritäten auftreten, welche im Sinne der analytischen Geometrie der krummen 

 Flächen nicht Punktsingularitäten, sondern Singularitäten der Tangentialebene 

 sind. Der allgemeine Charakter dieser Singularitäten besteht darin, dass durch 

 jeden dieser Punkte mehr als zwei Krümmungslinien und mehr als zwei 

 Asymptotenlinien der Fläche hindurchgehen. 1 ) 



Man scheint bisher angenommen zu haben, dass ein Minimalflächenstück, 

 welches innerhalb einer vorgeschriebenen Begrenzung unter allen ihm unend- 

 lich benachbarten Flächenstücken den kleinsten Flächeninhalt besitzt, Punkt- 

 singularitäten nicht besitzen darf. "Wenigstens ist in der RiEMANN'schen 

 Abhandlung nur von solchen Singularitäten die Rede, welche Singularitäten 

 der Tangentialebene sind. Eine genauere Untersuchung führt jedoch zu der 

 Einsicht, dass ein Minimalflächenstück, welches den erwähnten Bedingungen 

 genügt, in seinem Innern auch uniplanare Doppelpunkte enthalten kann. 



Wird z. B. eine Begrenzungslinie vorgeschrieben, welche nach der von 

 Listing in seiner Abhandlung „Der Census räumlicher Complexe" gebrauchten 

 zweckmässigen Benennung als verknotet zu bezeichnen ist, so würde die 

 Aufgabe, ein einfach zusammenhängendes Flächenstück zu construiren, welches 

 in seinem Innern keinen singulären Punkt enthält und von jener verknoteten 

 Linie begrenzt ist, eine Lösung überhaupt nicht gestatten, wenn als singulärer 

 Punkt jeder solche Punkt angesehen wird, welcher mehr als einem Flächen- 

 elemente gleichzeitig augehört. Es würde also auch die Frage nach einer 



') Riemann, Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung, Art. 10, 11, 12. 



