Theorie der linearen und homogenen Differentialgleichungen. 561 



3. Jede solche Function tp(x) kann als die Summe zweier elliptischen 

 Functionen G(.c) und H{x) betrachtet werden, von welchen die erstere die 

 Eigenschaft hat, dass in ihren sämmtlichen für die Umgebungen der Unend- 

 lichkeitsstellen geltenden Reihenentwickelungen das Glied mit dem Exponenten 

 — 1 fehlt, und die letztere Fl(x) nur Unendlichkeitsstellen erster Ordnung 

 hat. Diese beiden Functionen bestimme ich näher so, dass wenn 



<f (,;) = C + Y Cf £ (s - g,) + Y_ C ç p(x - U) + Y_ C « P'( X - W + ' ' " 



ist, lasse ich 



und 



g(x) = c+Y_c Q $>{x - g,) +^c ? f> -&)+•■■ +£c<v (a - r P ) 



sein. Schreibe ich nun 



-^C' 9 



erhalte ich 



fßfc) <fcc = Cx +K+ + F(x) , 



wo F(x) eine elliptische Function ist, in deren für die Umgebungen der 

 Unendlichkeitsstellen geltenden Reihenentwickelungen die Coefficienten sämint- 

 licher Glieder mit negativen Exponenten nur dann von der in i/> auftretenden 

 beliebigen Grösse % abhängig sind, wenn dieses der Fall ist mit den ent- 

 sprechenden Coefficienten der Function G(x). 



Es seien nun Gv,tfa), H v ,(i{x) ,C v ,fi, K v ,^, F v ,fi(x) die der Function (p v ,tfa) 

 entsprechenden Grössen von der oben genannten Beschaffenheit, so dass 



(pv, /t(x) = Gv, fi{x) + H v , p(x) 

 und 



j Gv, (Ax) dx=Cv,pX + ~K V , ii il> + Fv, ii(pc) 

 ist, so haben wir 



J Av, n (fv, n(x) clx = | A v ,fi Gv, /i (x) dx -+- j A v , i* Hv, p(%) dx 



