Theorie der linearen und homogenen Differentialgleichungen. 565 



die für die Umgebung der Unendlichkeitsstelle | geltende Reihenentwicke- 

 lung der Function t^.^x). Wenn nun £ dem Werthe x incongruent ist, 

 und ich mit A' Vifl das Resultat der Substitutionen 



6 '/| + 2v> - (:r + 2(3')) 

 il> = - —t— —, z = £ + 2<5' 



ö(| + 2(3 - (u' + 2(3')) 



in die Function A v ^ bezeichne, wobei 2(5 und 2(3' zwei beliebige Perioden 

 der Functionen jI V)ll (x) bedeuten, muss die Gleichung 



ct Vt i -4 D, i + K», 2 -A Vt 2 -r " ■ • t Ky, v— i -4 V) v— i + «j/j k = U 



erfüllt werden, und da à und q (und folglich auch i/> und x) unabhängig von 

 einander unendlich viele Werthe annehmen können, ist dieses nur in der Art 

 möglich, dass der Ausdruck 



(l'j,, 1 -O-v, i T Kv, 2 -^V, 2 1 T" tiy, V—i -^V, V—\ ~T Civ, V 



in Beziehung auf ip und x identisch verschwindet. Giebt es nun unter den 

 Grössen a v , ^ «„, 2 , • • • «v, v solche, die nicht gleich Null sind, so können nicht 

 sämmtliche Functionen 



von verschiedener Ordnung sein. 



Ich nenne a v , ß diejenige unter den nicht verschwindenden Grössen a Vj(l , 

 deren zweiter Zeiger fi die kleinste Zahl ist und nehme an, dass es r + 1 

 Functionen 



A v ,ß, ^v,ß+i) -Av,ß+2j • • • -Av,ß+r 



von derselben Ordnung viß giebt, wobei r > O sein muss. Bilde ich nun die 

 elliptischen Functionen 



H' v . ß+1 (x) = H v . ß+l (x) - ^î±l H v . ß(x) , 



C<V, ß 



H' v . ß+1 (x) = H v , ß+i {x) - ^ii^ H V) ß {x) , 



ll' v , v (x) = //„, v {x) - -^ H v , ß (x) 



