Theorie der linearen und homogenen Differentialgleichungen. 



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8. Nachdem ich nun die analytische Form der Integrale der besonderen 

 Differentialgleichungen, welche ich ^3, = O bezeichne, gefunden habe, gehe ich 

 zu den allgemeinen linearen und homogenen Differentialgleichungen mit dop- 

 peltperiodischen Coefticienten über. 



In meinem früheren unter dem Titel : „Zur Theorie der linearen und ho- 

 mogenen Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Coefficienten" ver- 

 öffentlichten Aufsatze 1 ), habe ich die eindeutigen Integrale jeder solchen Dif- 

 ferentialgleichung in Classen gruppirt. Eine unmittelbare Folge der dort an- 

 gegebenen Eigenschaften der zu einer solcher Classe gehörenden Integrale ist, 

 dass jede Differentialgleichung, zu der eine dieser Classen ein vollständiges 

 Fundamentalsystem von Integralen bildet, doppeltperiodische Coefficienten hat. 

 Ich kann somit jedes eindeutige Integral einer linearen Differentialgleichung 

 mit doppeltperiodischen Coefficienten linear in den Integralen mehrerer Diffe- 

 rentialgleichungen von der speciellen Art SjJ,- = ausdrücken und bin also be- 

 rechtigt folgenden Satz auszusprechen : 



Die zu derselben Classe gehörenden Elemente des Fundamentalsystems 

 von Integralen einer linearen tmd homogenen Differentialgleichung mit doppelt- 

 periodischen Coefficienten haben die Form 



Vi = <K*) 



y a = <p 



= (PU- 



Ai + ^O*-') 



y 3 = cp (x) A 3i ! + A 3t o (f 2 (x) + y 3 , g (aj) J 



y i = <p (x) A^ , + A it , qp, (x) + A it s (p 4 , a (a;) + y*, 4 (x) 



d. h. im Allgemeinen 

 y v = <p {x) A v , , + A V) 2 (f 2 (x) + A Vj s <p V) a (x) +■■■ + A Vj v -i cp v> „_, (x) -t- (p v, Jx) , 



wo 



1) tp(x) eine doppeltperiodische Function zweiter Gattung bedeutet, welche 

 für die betreffende Classe in sofern characteristisch ist, dass dieselbe 

 Function in keiner anderen Classe des Systems auftreten kann, 



') Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Tom. XVI. 



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