ô84 E. R. N E o v i u s. 



Denkt man sich die beiden Bereiche X' und 33' in Bezug auf ihre ge- 

 raden Begrenzungslinien symmetrisch wiederholt, so dass die diesen symme- 

 trischen Bereiche X" und 33" entstehen, so entsprechen bei der analytischen 

 Fortsetzung des Bereiches des Arguments der Function %(v) über die Axe 

 des Beeilen hinaus conjugierten Werthen des Arguments conjugierte Werthe 

 der Function, und es entspricht dem aus den beiden Halbebenen 33' und 35" 

 zu bildenden geschlossenen Bereiche 33'+ 33" ein aus den beiden Bereichen 

 X' und X" zu bildender geschlossener Bereich X'+ X". 



Dieser letztere Bereich besteht aus zehn Halbebenen und bildet eine 

 geschlossene einfach zusammenhängende fünfblättrige RiEMANN'sche 

 Fläche, deren Verzweigungspunkte, wie sich aus der angegebenen Zeichnung 

 ergibt, folgende sind: 



Im Punkte x' = besitzt die angegebene Fläche einen Windungspunkt 

 erster und einen Windungspunkt zweiter Ordnung. Im Punkte x'= 1 be- 

 sitzt die Fläche zwei Windungspunkte erster Ordnung. Im Punkte x'—œ 

 besitzt die Fläche einen Windungspunkt dritter Ordnung. 



Nach einem allgemeinen von Biemann bewiesenen Lehrsätze (Gesammelte 

 Werke, pag. 39) ist die Function x = */jy) eine algebraische, und da zu jedem 

 Werthe des Arguments v, weil der Bereich 33' + 33" einblättrig ist, nur ein 

 Werth der Grösse x gehört, so ist diese Function eine rationale. 



Setzt man fest, dass der Windungspunkt dritter Ordnung dem Werthe 

 « = co, der Windungspunkt zweiter Ordnung dem Werthe v = entspricht, so 

 muss der Nenner der Function yjv) vom ersten Grade sein und der Zähler 

 den Factor v 3 enthalten. Da im Punkte x'= die BiEMANNSche Fläche X'+X" 

 ausser dem Windungspunkte zweiter Ordnung noch einen Windungspunkt er- 

 ster Ordnung besitzt, so muss der Zähler der Function yjy) ausser dem Factor 

 v 3 noch einen quadratischen Factor (v — af besitzen. Es muss daher die Func- 

 tion yjv) die Gestalt haben 



v 3 (y - af 

 x =y(v) = C — > 



M ' v — c 



worin C eine noch zu bestimmende Constante bezeichnet. 



Ueber eine der Grössen a, c kann beliebig verfügt werden. Es werde 

 a = — 1 gesetzt. 



Zur Bestimmung der Grössen C und c kann die Bemerkung dienen, dass 

 in zweien derjenigen Punkte der RiEMANN'schen Fläche X'+X", welche dem 

 Werthe x'= 1 entsprechen, diese Function je einen Windungspunkt erster Ord- 

 nung besitzt. Hieraus folgt, dass die Gleichung 



