143 
hvad här ofvan är sagdt om systemet D för den händelsen 
att 4 är noll. Sålunda gäller äfven om det nu betraktade 
systemet af underdeterminanter, att principal-elementen deri 
alla hafva samma tecken, att om ett sådant element är noll, 
alla dermed i summa rad eller kolumn hefintliga element till- 
lika försvinna, samt att summan af principal-elementen förty 
ej kan vara noll utan att samtliga element i systemet till- 
lika äro noll. För öfrigt kan man äfven här, i fullkomlig 
öfverensstämmelse med förfarandet i näst föregående $, införa 
vissa hjelpqvantiteter, hvilka parvis multiplicerade med hvar- 
andra återge alla de till systemet hörande underdeterminan- 
terna. 
12. De nu antydda egenskaperna hos symmetriska de- 
terminanter äfvensom de förut utvecklade allmänna satserna 
komma i användning bland annat, då man vill finna kriteri- 
erna för de olika slag af ytor, som representeras af en an- 
dra-grads eqvation. Den enklaste och i praktiskt hänseende 
beqvämaste klassificeringen af dessa ytor är visserligen den, 
som grundar sig på undersökningen af rötterna till den här- 
vid uppträdande kubiska eqvationen +). Men vill man ut- 
trycka ifrågavarande kriterier omedelbart i sjelfva koefficien- 
terna för ytans eqvation, så kan detta ske förmedels vissa 
symmetriska determinant-expressioner, på sätt här nedan skall 
närmare ådagaläggas. 
Betecknas den allmänna eqvationen för en andra-grads 
yta med 
(1) an LH ay? + ass 2? + 2010 CY + 2013 L2 + 2A03 Y2 
+ 20 LT 200 Yy + 203 2-+ As = 0, 
har man till bestämmande af koordinanterna för ytans me- 
delpunkt eqvationerna 
Oy BA AY + 232 T 2 = 0 
(2) dor CL A22 YT Az 2 + 24 = 0 
Az BK A32 Y I A33 2 + A34 = 04 
+) Se förf:s Lärobok i analytisk geometri, tredje upplagan, 
Stockholm 1877, till hvilken vi för uppfattningen af det följande äf- 
ven i öfrigt få hänvisa. 
