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dass der Zusammenhang der Substanz keine Streckungen und Verschiebungen eintreten lasse, dass somit jedes 

 Element in der Richtung der x- und der y-Axe der ihm angehörenden Wachsthumsgeschwindigkeit entsprechend 

 zunehme. Zu diesem Zweck entwickeln wir den Werth von y aus der Gleichung I und führen ihn in die Gleichung II 

 ein. Wir erhalten dadurch das Wachsthum des Randes; es gehe dadurch die Funktion Jf über in fVmx (d. h. 

 Wachsthumsgeschwindigkeit am Rande, margo, als Funktion von x). Auf ähnliche Weise führen wir den Werth 

 von X aus I in II ein und erhalten so Ji^nty. Betrachten wir nun ein Element dx dy , so nimmt in der Zeit dt 



die Seite dx um die Grösse W. dx. dt zu, und somit von der Zeit o bis zu der Zeit t um die Grösse jW. dx. dt] 



ebenso nimmt die Seite dy zu um / W. dy. dt. Befindet sich das Element am Rande , so müssen an die Stelle 



von JV die Werthe W,„x und W^y eingeführt werden. Hieraus folgt, dass in Folge des durch die Funktion 

 ausgedrückten Wachsthums die Abscisse x eines Randelementes in der Zeit dt zunimmt um die Grösse : 



III. f f" W^x. dx. dl = Jx 

 und ebenso die Ordinate // um die Grösse : 



IV. /' r fF„y. dx. dt = Jy. 



Nennen wir die neuen Coordinaten des Randes Ä' und F, so haben wir somit: 



+/ 'j: 



V. x=.T + / / jr„„. dx. dt 



und VI. r^y-\-f r W„„j. dy. dt. 



Wenn wir nun aus V und VI die Werthe von x und y entwickeln, und in die Gleichung I einführen, 

 so erhalten wir eme Funktion von X, Y und t , welche die Gestalt des Randes nach Verfluss der Zeit t ausdrückt. 

 Wir gehen nun vom Rande zu den Theilen im Inneren der Platte über. Hier werden die Elemente nicht 

 die, dem Gesetze des Wachsthums entsprechende Vergrösserung annehmen, und zugleich, stätig an einander an- 

 schliessend in der Ebene bleiben können, und zwar aus folgenden zwei, leicht einzusehenden Gründen: erstens 

 wird das geringere Wachsthum des Randes der Ausdehnung der inneren Theile eine Hemmung entgegensetzen, 

 und zweitens wird ausserdem das ungleiche Wachsthum zweier an einander liegender Elemente Störungen her- 

 vorbringen. Diese Umstände führen es mit sich, dass Druckspannungen entstehen, wodurch die einzelnen Ele- 

 mente zusammengepresst werden, sich gegenseitig, und schliesslich auch auf den Rand drücken. Dadurch kann 

 die Gestalt des letzteren etwas verändert werden, und im Innern der Platte werden Verdichtungen, Verdickungen 

 und Verschiebungen eintreten. Da nun aber die Platte nicht als vollkommen elastisch betrachtet wird, so kann 

 an den Stellen starker Verschiebungen und Compressionen die Gränze der vollkommenen Elasticität und sogar 

 die Gränze der Festigkeit überschritten werden, was bleibende Veränderungen oder Reissen einzelner Theile zur 

 Folge hat. Die Abweichung der Ausdehnung, welche die einzelnen Theile einer Platte in der Ebene annehmen 

 können, von der, welche sie in Folge der Wachsthumsfunktion annehmen sollten, wird jedoch im Allgemeinen so 

 gross sein, dass die den verschiedenen Elementen zukommenden Verschiebungen und Verdichtungen sehr bedeu- 

 tend sein müssten. Da wir nun die Platte so dünn annehmen können, dass es zur Biegung derselben keiner 

 sehr grossen Kräfte bedarf, so werden mannigfache Ausbiegungen und Werfungen eintreten, wodurch dieselbe 

 nicht in der Ebene bleibt, sondern die Gestalt einer gekrümmten Fläche annimmt. Je grösser der Unterschied 

 ist zwischen dem Wachsthum, welches der, durch das geringere Wachsthum des Randes beschränkte Raum zu- 

 lässt, um so bedeutender wird offenbar an der betreffenden Stelle die Platte sich werfen müssen. 



Bis dahin haben wir nur das Wachsthum nach der Richtung der x- und y-Axe, d. h. in der Ebene der 

 Platte, betrachtet. Es ist nun aber selbstverständlich, dass das Wachsthum ebenso gut nach der dritten Dimen- 

 sion , d. h. in die Dicke, stattfinden wird. Dadurch wird die Platte an jeder Stelle eine der Wachsthumsfunctioii 

 entsprechende Verdickung erhalten, zu welcher sich noch die oben erwähnte, durch Elasticitätsdruck hervorge- 

 brachte Verdickung addiren wird. Dass bei der Beurtheilung der entstehenden Verdichtungen, Verschiebungen, 

 Ausbiegungen u. s. w. auch die Dicke der Platte an den verschiedenen Stellen von dem grössten Einfluss sein 

 muss, ist leicht zu erkennen. 



Aus dem Gesagten geht hervor, dass die hauptsächliclien Veränderungen, die während der Zeit t in der 

 Platte Platz greifen, sich wesentlich in folgende Punkte zusammenfassen lassen: 



I. Der Rand, d. h. die äussere Begrenzung der Platte wird der Grösse, und der Gestalt nach ver- 

 ändert sein. 



"2. Sowohl im Innern der Platte, als am Rande werden in Folge der Verdichtungen, Verschiebungen und 



