Om en ny klass af transcendenta funktioner, hvilka äro nära beslägtade 



med gammafunktionen. 



u. 



1. I första delen af denna afhandling har jag om samtliga hela och po- 

 sitiva potenser af gammafunktionen bevisat vissa satser, af hvilka de resultat, 

 hvartill Prym kommit i sin uti Celles Journal, Bd. 82, publicerade afliand- 

 ling Zur Theorie der Gammafitnliion, kunna betraktas såsom helt speciela 

 fall. Jag antydde tillika, att den derstädes använda metoden i allmänhet leder 

 till målet, när det gäller att i enlighet med det Mittag-Leffleuska teoremet 

 sönderdela en produkt eller en qvot af gammafunktioner uti summan af en 

 partialbråksserie och en beständigt konvergerande potensserie, samt att metoden 

 dessutom är af den beskaffenhet, att den i mycket omfattande fall för till be- 

 sittning utaf en oändlig mängd af nya transcendenter och dessas karakteristiska 

 egenskaper, hvilka utvisa att de nya funktionerna äro på det närmaste be- 

 slägtade med gammafunktionen. Teorin för gammafunktionen blir sålunda be- 

 tydligt utvidgad. Särskildt anmärkningsvärd är den formela lihket, som den- 

 samma i vissa afseenden får med teorin för de lineära differentialeqvationerna. 

 Den sist nämda omständigheten finner, såsom jag i en annan afhandling fram- 

 deles skall uppvisa, en förklaring derigenom, att det verkligen också existerar 

 ett nära, inre samband emellan vissa slag af lineära differentialeqvationer och 

 sådana funktionaleqvationer, som uppträda inom gammafunktiouens teori. 



I denna andra del af afhandlingen skall jag nu i öfrigt uppvisa riktig- 

 heten af dessa antydningar genom att tillämpa den i fråga varande metoden på 

 en funktion af den allmänna formen 



v {x- i,) r -{x-h^ . . . v ' {x- bj) 



der ;«,, ..., ,«,. , i',, ..., i-^ beteckna hela och positiva tal samt «,, ...«,., 

 bl, ...b,, a af X oberoende qvantiteter, hvilka som helst. Det visar sig i det 



