4 Hj. Mel LIN. 



följande att de satser, hvilka åtminstone i vissa mycket allmänna fall kunna 

 utvecklas angående en funktion af formen F{x) äro fullkomligt analoga med de 

 satser, hvilka i första delen af denna afhandling blifvit bevisade om funktionen 

 l^{x), och hvilka nu i sin tur komma att te sig såsom ytterst specicla fall af 

 de först nämda. 



Med tillhjelp af den bekanta likheten r(2 + 1) = r(^) finner man att 2''(^) 

 satisfierar likheten 



(2) F{x+l) = r{x)F{x), 



deri 



''i /^ ^ ^ f 2 /v. ..\ !"'■ 



(3) r{x) = e 



nr 



{x -a,) \x — a.^ \ . . (;c - «,) 



{x-hy'{x-hy\..(x-by^ 



luttrycket F(x) ha vi låtit ingå en faktor af formen e"*" icke blott der- 

 för, att F(x) derigenom kommer att omfatta en större klass af funktioner än 

 hvad fallet vore om denna faktor saknades, utan också af den orsak, att man 

 kan uppställa en qvot af gammafunktioner, hvilken är allmännare än senare 

 delen i F{x) och hvilken derför icke alltid kan bringas under den sist nämda 

 formen, men väl under formen CF(x) genom att deri på ett lämpligt sätt för- 

 foga öfver konstanterna C och cc. Sätter man nemligen 



yf'' («1 X - a O i '^^ {a,x-a',)... r'"'? {uj, X - a',) 



^ ^'')' r^UßJ^b[) i--^ i^x-b';)... i-'^ 03, X - b'S 



der a, ßj (I, v beteckna hela och positiva tal samt a och b af x oberoende 

 qvantiteter, hvika som helst, så satisfierar också f{x) en likhet af formen 



f{x + l) = r,{x)fix) 



der fl {x) betecknar en rationel funktion. Inom gammafuiditionens teori, för 

 hvilken likheter af denna form just äro utmärkande, bör derför också funk- 

 tionen f(x) upptagas till studium, isynnerhet som den har företrädet att vara 

 allmännare än senare delen i F(x). Det är dock lätt att uppvisa, hurusom 

 f(x), likasom också hvarje funktion af formen e"'"^ f{x), alltid kan bringas 

 under form C F{x). Ty i stöd af den bekanta likheten 



der n utmärker ett positivt helt tal, är 



