Om en ny Idass af transcendenta funktioner. 5 



fl 1 — « (ce .r — a — i) ,u fi fi u 



r (« X - a) = (2 n) -^ '^a - l\x - ^-) IXx ^ ^) • • • n^ ~ '^l±^). 



Emedan hvarje faktor i täljaren och nämnaren af f{x) har samma form som 

 första menibrum i denna likhet, sa inses på grund häraf omedelbart riktigheten 

 af vårt påstående. Vi kunna således framdeles anse, att f{x) blifvit bragt 

 under formen CF{x), samt öfver allt i det följande inskränka oss till ett stu- 

 dium af funktioner under formen F{x). 



Emellertid är C F {oc) ännu icke den allmännaste qvot, i hvilken såväl 

 täljaren som nämnaren är en produkt utaf funktioner af formen e " '' och 

 r{ax-h) och hviken satisfierar en likhet af formen (2). Vi skola derför 

 angifva de skäl, som föranledt oss att det oaktadt inskränka den följande un- 

 dersökningen till funktioner af formen F{x). Derförinnan framhålla vi, att 

 det icke kan komma i fråga att till teorin för gammafunktionen räkna hvarje 

 funktion, som satisfierar en likhet af formen (2). Ty är F {x) en funktion, 

 som satisfierar likheten (2) samt c/; (;«) hvilken funktion som helst med perioden 1, 

 så är produkten if{x)F{x) en ny funktion, som också satisfierar samma likhet 

 som F [x). 



Ett första skäl, hvarför vi endast göra funktioner af formen F {x) till 

 föremål för de följande undersökningarne, är den omständigheten, att hvarje 

 godtycMigt gifven rationel funktion r (x) motsvaras af en och, så när som på 

 en faktor e^ '^^*), blott af en enda funktion af formen F (x), hvilken satis- 

 fierar likheten (2), samt att hvarje annan funktion, som också satisfierar lik- 

 heten (2) , kan sättas lika med en produkt, hvars ena faktor är F (x) och den 

 andra en viss funktion med perioden 1. På grund af denna sats, om hvars 

 rigtighet man mycket lätt öfvertygar sig, kunna de funktioner, som inbegripas 

 under formen F{x), betraktas såsom de grundtyper, ur hvilka alla andra funk- 

 tioner med egenskapen (2) erhållas genom multiplikation med periodiska funk- 

 tioner. Dessa grundtyper böra naturligtvis i främsta rummet undersökas. 



Det kan vidare strängt bevisas, att den allmännaste qvot, i hvilken såväl 

 täljaren som nämnaren är en produkt utaf funktioner af formen e''-^ och Fiax-h), 

 alltid då densamma satisfierar en likhet (2^ kan bringas under formen 



/■(x)= Ge«'-'- ?=^ £=^ , 



s q 



^ r"'^ {x - h',)tl r"'%d', - x) 



9=1 " 9=1 



*) Der h i,Y ett helt tal; vi antaga naturligtvis, att tvenne af de r + s storheterna n, h uti F{x) 

 icke äro lika. 



