6 Hj. Mellin. 



(1er (lg, v'q, ni'ç, w^, äro heia ocli positiva tal samt «p, b'ç, c^, d'g, «', C af x 

 oberoende qvantiteter. Denna qvot kan nu visserligen icke alltid bringas un- 

 der formen F(x), men emedan det i hvarje fall finnes en funktion af formen 

 F (x), som också satisfierar samma likhet (2) som f (x), så kan man i stöd 

 af föregående sats sätta 



der (f){x) cär en viss funktion med perioden 1. Sammanställes den bekanta 

 likheten 



r(l +0) r(-s) = - -r^ — 

 ^ •' ^ ^ sm « z 



med uttrycket för f{x), så finner man, att qp (a;) kan bringas under formen 



TT . "^" 

 Ti ni II sin n (x — dg) 



n sin 7t [x — c'ç) 



der K är en konstant samt k ett helt tal, som är så valdt, att cf (^x) kommer 

 att besitta perioden 1. Häraf framgår nu, att studiet af funktionen f{x) kan 

 reduceras till undersökningen af en produkt, hvars ena faktor är af formen 

 F{x) och den andra en periodisk funktion af formen (f> (^x). Det skulle visser- 

 ligen icke möta några svårigheter att genast lägga en funktion af formen f{x) 

 till grund för undersökningen. Men emedan den i och med detsamma icke 

 så litet skulle förlora i korthet och öfverskådlighet, så är detta ett nytt skäl 

 att särskildt för sig undersöka funktionerna af formen F{x). Funktionerna 

 cp(x)F(x) kunna sedan också undersökas särskildt för sig, såvida en sådan 

 undersökning har sitt intresse. 



'ö 



2. Likasom egenskapen r{x+\) = xr{x) hos gammafunktionen mot- 

 svaras af egenskapen F (x+ l) = r (x) F (x) hos F(x), så motsvaras också 

 egenskapen 



lim F{x + m) ^ ^ 

 »î=co m — Im ■'^ 



hos den den förra*) af den liknande egenskap hos den senare funktionen. 



Sammanställer man nemligen likheten 



*) Här likasom alltid i det följande är livarje uttryck af formen m^ defiiiieradt genom serien 



