12 M E L L I N. 



Ü st. för S{x), 

 P(..; „ S{x-a,). 



Förr än vi företaga någoitämning af konstanterna Ä uti partialbråks- 

 serien P(x), söka vi att finna 5var på frågan, om det öfverhufvudtaget är 

 möjligt att uti en partialbråks af formen S (x) bestämma konstanterna A 

 samt de hela rationela funktion g på ett sådant sätt, att de r addenderna 

 i S (x) blifva likformigt konverule serier samt differensen 



(20) r^ (x) + 1) - r„ (x) S (x) 



en funktion af hel karakter elhied andra ord sagdt, differensen 



S(.l)-r{x)S{x) 



en funktion af rational karakter ilken inom ändligt område icke blir oänd- 

 ligt stor i andra punkter än mövis i nollställena för den genom likheten 

 (11) definierade hela rationela ttionen r {x). Denna fråga är så stäld, att 

 svaret på densamma i hvarje falntingen det utfaller jakande eller nekande, 

 bör blifva upplysande för våra ursökningar. 



Under förutsättning, att derskilda addenderna i S (x) konvergera lik- 

 formigt, är differensen (20) en fuion af hel karakter alltid och endast, ifall 

 densamma för onigifningen af hvaioändlighetsställe w vare sig för S (x) eller 

 S {x + 1) kan utvecklas i en kongerande potensserie, som fortskrider efter 

 hela och positiva potenser af x - Framför allt måste således hvarje oänd- 

 lighetsställe för r ^ {x) S (x) motsvis af et dermed lika oändlighetsställe för 

 r^(x)S{x+\), och omvändt livar oändlighetsställe för den senare produkten 

 motsvaras af ett dermed lika oäncchetsställe för den förra. Derjemte måste 

 hvarje koefficient för en negativ jens af x ~ a \ den emot oändlighetsstället 

 tu svarande potensserien af den ei produkten vara lika med koefficienten för 

 samma potens af x - a i den ett stället a svarande potensserien af den 

 andra. 



Oändlighetsställena för S(x) igå såsom termer i de r aritmetiska se- 

 rierna (14): 



(iQ, «e - 1. .., üg — n, .... 

 Q=, 2, ..., r. 

 Ibland dessa äro ställena (16): 



uppenbarligen icke oändlighetsställenför S {x + l). Emedan >■„ (.r) i punkten «p, 



