Ont en ny Jdass af transcendenta funktioner. 13 



höraude till värdena (16), blir noll af ordningen tig, under det att S (x) i 

 samma punkt kan blifva oändligt stor högst af ordningen {ig, så kan produkten 

 t\^{.v)S(x) icke blifva oändligt stor i någon af punkterna (16). Differensen 

 (20) kan således, äfven om storheterna A i S (x) lemnas obestämda, icke 

 blifva oändligt stor för andra värden än de gemensamma oändlighetsställeua 

 för S (x) och 8 {x + 1), hvilka tydligen ingå såsom termer i de r aritmetiska 

 serier 



(21) «p-l, «9-2, . . ., ttg-H, ... 



9=1, 2, . . . , r, 



som erhållas genom att ifrån hvar och en af de r aritmetiska serierna (14) 

 bortlemna första termen. Emedan tvenne af serierna (21) enligt § 3 icke ha 

 någon term gemensam, så kan intet af de oändlighetsställen, som differensen 

 (20) besitter sålänge storheterna A lemnas obestämda, vara ett oändlighets- 

 ställe för mer än en enda ibland de r differenserna 



(22) ., (.r) S(:x + l; Ug) - y„{x) S (x ; cig) 



Q = l, 2, .. ., r, 



i hvilka differensen (20) kan upplösas. Skall således differensen (20), under 

 förutsättning att addcuderna i S [x) konvergera likformigt, vara en funktion af 

 hel karakter, så är det både nödvändigt och tillräckligt, att differenserna (22) 

 alla blifva funktioner af hel karakter. 



I omgifningen af ett för S (x ; «p) och S (x + I ; Ug) gemensamt oändlig- 

 hetsställe 



X = Un — n, w > 1 , 



ar 



(9,11) (9,") 



A^ A, 



S (.c ; Ug) = ^— ^ + . . . + + G{x-ag + n) 



{x - Ug + n) e X — ttg +n 



och 



(e,"-i) (e,«-i) 



A A 



S{x + 1 ; «p) = - ^^^-— + . . . + ^ + G, (.'C - «p + n\ 



[x — «9 -f- w) e X — ag + n 



dei' G och G^ beteckna vanliga, efter hela och positiva potenser af x — Og + n 

 fortskridande potensserier. Skall nu såldes differensen 



(23) r, {x)S(x + l; (ig) - r„ (x) S {x ; Ug) 



vara en funktion af hel karakter, så är det, unter forutsättning att S (x ; cig) 



