Om en ny klass af transcendenta funliioner. 



15 



och verkställer utvecklingen samt sätter koefficienterna för de negativa poten- 

 seran af x — ag+n lika med noll, så erhållas likheterna 



(») . (>i-i) 



(26) 



i,,_, = s ' (« - n) Ä^ + s (a - n) A^_^ 



(11-1) 



(«-!) 



Ii) (i-1) 



00 S (a - w)(''->' s (a — w) (« j«) 



(n-l) 



^^ + ^Zi— ^^- + • . • + s (a - w) ^^_,^ 



(«-1) 



^.= -V A^+ ^^^\^ ^^_, + + (s(a-«)^. 



ft-1 



«=1,2,3,..., 



i hvilka vi för enkelhetens skuld öfver allt bortlemnat index q, i det vi satt 



(?,«) («) 



4.p_,< = ^^_,, «-p = «, Me-f- 



Under förutsättning, att S [x ; a^) konvergerar likformigt, uttrycka dessa 

 likheter icke blott det nödvändiga utan också det tillräckliga vilkoret för att 

 differensen (23) skall vara en funktion af hel karakter. 



Genom rehirsionsformlerna (26) är livar och en af de följande konstan- 

 terna A entydigt bestämd så snart konstanterna 



(0) (0) (0) 



i första termen af S {x ; rtp) blifvit godtyckligt fixerade ; och detta sålunda att 

 hvar och en af konstanterna 



()i) ("I (») 



är en homogen och linear funktion af 



(0) (0) (0) 



Betänker man nu att man alltid, huru också konstanterna i första termen 

 må fixeras, sedan åt de öfriga tilldelats de entydigt bestämda värden som er- 

 erhållas ur rekursionsformlerna (26), derefter på mångfaldiga sätt kan fram- 



