16 H J. M E L L I N. 



ställa en sådan följd af hela rationela funktioner g^ (x , a^) , g , (x , a^) , . .., 

 att serien S (x ; ttg) blir en likformigt konvergerande serie, så inser man att 

 det existerar en oändlig mängd funktioner af formen S(x;ag), som besitta 

 egenskapen 



r^{x)S{x + l;ag) = r^, (x) S {x ; flSp) - 91 (« ; «p) , 



i hvilken likhet Si (x ; a^) betecknar en funktion af hel karakter. Divideras 



hvartdera membrum af denna likhet med r^ (x), så fås 



(27) S{x+l; öp) = r (x) S (x ■,ag) — B(x; ag) , 



deri Ii(x;ag) är en funktion af rationel karakter, hvilken inom ändligt om- 

 råde icke kan blifva oändligt stor för andra värden än möjligtvis nollställena 

 till r, {x) : 



SI (œ ; ctç) 



Likheten (27) uttrj^cker en anmärkningsvärd egenskap, emedan r (x) och 

 B (x ; Ug) ha ett ändligt antal oändlighetsställen, under det att S (a; ; Ug) har 

 sådana till ett obegränsadt antal. 



Tillämpas nu de resultat som ei-hållits på den genom likheten (19) defi- 

 nierade funktionen S (x), så inses utan vidare utläggningar, att det existerar 

 oändlig mängd funktioner af denna form, hvilka satisfiera hvar sin likhet 



S(x^l)=r{x)S{x)-B{x), 



deri B (x) är en funktion af rationel karakter, hvilken inom ändligt område 

 icke har andra oändlighetsställen än möjligtvis nollpunkterna för r^ (x). Un- 

 der förutsättning, att addenderna i S (:c) göras likformigt konvergenta, uttryckes 

 det nödvändiga och tillräckliga vilkoret för att S {x) skall vara i besittning af 

 denna egenskap genom r särskilda system rekursionslikheter af formen (26), 

 motsvnrande de r addenderna i S (x). 



Genom att i stället för r (x) använda det reciproka värdet s (x) ha vi här 

 lyckats framställa rekursionsformlera (26) under en vida enklare yttre form än 

 den, hvarunder de motsvariga rekursionsformlerna i första delen af denna af- 

 handling uppträda. 



Den fråga, som vi nu närmast ha att besvara, är denna. Satisfiera kon- 

 stanterna Ä uti partialbråksserien P(x), hvilken också är af samma form som 

 8 (x), de r systemen (26)? Denna fråga kommer i följande § att besvaras 

 jakande. 



