Om en ny klass af transcendenta funktioner. 17 



5. Vi föreställa oss, att konstanterna Ä uti S (x) ha de speciela värden, 

 som de måste ega för att man skall kunna sätta 



och uppvisa ensamt i stöd af detta antagande, att konstanterna A satisfiera 

 likheterna (26). Dermed är då bevisadt, att P(x;a^) satisfierar likheten 



P{x+l; a^) = r (x) F {x ■,a^)-B{x- a^), 



och således P{x) likheten 



P{x+l) = r(x)P{x)-B(x), 



der B (x ; Uq) och B (x) äro funktioner af rationel karakter, hvilka inom änd- 

 ligt område icke kunna blifva oändlig stora i andra punkter än de, hvari r (x) 

 blir oändligt stor. 



Om konstanterna A ha de angifna värdena, så kan man för en viss om- 

 gifning af stället 



X = a — n 

 sätta 



(.1) (k) 



A A 



F (x) = ^ + ■ • • + Î +G {x-a + n), 



{x — a + iif x — a + n 



der 



(") (9'") 



samt G en efter hela och positiva potenser af x — a + 7i fortskridande potens- 

 serie. Enligt en bekant sats ur integralteorin är nu 



(28) 



2 71 



(Ii) 1 r • < '.,1^-1^ 



V/.= 2;rJ F{a-n + re''){re") dt, 



der r är en positiv quantitet, som blott är underkastad bestämningen att vara 

 mindre än afståndet ifrån punkten a — n till närmaste oändlighetsställe för F{x). 

 Ur likheten (28) fås 



(29) X~^=^JF{a-n + l+re''){re^^)'"dL 



Gör man uti likheten (28) under integraltecknet bruk af likheten 



