18 H J. M E L L I N. 



F{a -n + re'*) = F {a -n + l+re' ) s (a - n + r e' ') 



så fås, om man tillika använder likheten (29), 



^^_, = S (« - n) ^^_, + s' (« - n) V'^-.. + • • • + -^-^^ ^. 



4--^ Ji'^(« - »Ï + 1 + r e ^') (r c^O ""^' /'(»• e ^ V ^ 



u 



der f{re''*) är eu rationel funktion af re'*, livilken antager ett ändligt värde 

 för r = Q. Emedan 



lim F{a-n+\+fe'^){re'^) '" ■ 



är en ändlig qvantitet, och följaktligen 



lim F {a -n+\ +r e'^){r e ' ^ + ' f{r c ' ') = O, 



r = (1 



så är sista termen i högra membrum af den nyss härledda lihketen jeraväl 

 noll. Bortlemnas denna term ifrån likheten och skrifvas de öfriga termerna i 

 högra membrum i omvänd ordning, så erhålles 



(«) 



,W /„ . \ ,, ,, (1—1) 



A 



S (a — n) (»-!) s (a - n) ("-d («-') 



/i-;; 



A 



zr^- V, +--- + s(«-w)^^_ 



h -/. -^ Ä-l ^^-, -r----rM"-'V-^-, 



Denna likhet utvisar att konstanterna ^utiP(ir;öp) satisfiera likheterna (26). 

 Det är således en fullkomligt allmän och anmärkningsvärd egenskap hos 

 partialbråksserien för hvarje funktion af formen F (x), som är underkastad 

 vilkoren i § 3, att densamma satisßerar likheten 



(30) P(x+l) = r(x)P{x)-E{x), 



hvilken påminner om den motsvariga egenskapen F (x- + 1) = r (.i^ F (x) hos 

 F{x) sjelf. 



Vi ha tillika lyckats upptäcka en lag, enligt hvilken oändlighetspunkternas 

 konstanter A äro bestämda genom ett visst antal af de första ibland desamma. 



Ur det sätt, på hvilket vi genomfört den föregående undersökningen, har 

 vidare framgått, att partialbråksserien P(x) blott är ett specielt exemplar 



