0»i m 1UJ Idass af transccndenta fimJctioner. 19 



ibland oändligt många andra funktioner af samma form och med samma egen- 

 skap som F (x). 



Ibland alla dessa funktioner S (x), som satisfiera en likhet af formen (30), 

 äro helt naturligt de mest anmärkningsvärda, för hvilka B (x) reducerar sig 

 till en rationel funktion. Vår uppgift i det följande blir nu förnämligast att 

 just uppsöka och studera funktioner af detta slag. 



Hittills har r (x) fått betyda hvilken rationel funktion som helst, hvars 

 täljare icke är en konstant och som uppfj'ller de i § 3 faststälda vilkoren, att 

 skilnaden emellan tvenne af de r + s storheterna a, h icke är ett helt tal. 

 I och med detsamma som r (a-) är gifven, är också den funktion af formen (1), 

 som satisfierar likheten 



F{x+l) = r{x)F{x), 



entydigt bestämd, så när som på en faktor e^^'^\ der ^ är ett helt tal. Om- 

 vändt är också r (x) entydigt bestämd så snart F (x) är gifven. 



Härefter blir undersökningen beroende deraf, om gradtalet för täljarcn i 

 r (.t) är större än, lika med eller mindre än gradtalet för nämnaren, eller 

 noggrannare utti-ycket, om absoluta beloppet af 



lim r (x) = 31 



a: = 00 



är större än, lika med eller mindre än 1. I återstoden af denna andra del 

 af afhandlingen förutsattes att 



I ilfi>l. 



För detta fall komma vi med det första att bevisa, att samtliga addeuder 

 i S {x) förblifva icke blott likformigt utan också absolut konvergerande serier, 

 äfven om alla deri ingående hela rationela funktioner (/„ sättas lika med noll. 

 Alla de funktioner S (x), som på detta sätt erhållas, äro anmärkningsvärda 

 derigenom, att den motsvarande funktionen B (x) reducerar sig till en rationel 

 funktion. 



Af stort intresse är också fallet | ilf| = l. Hit höra exempelvis poten- 

 serna af den Eulerska integralen af första slaget 



i ^ ^ . r{x + a) 



Hvad den likformiga konvergensen hos serierna S i detta fall beträffar, så kan 

 denna i allmänhet åstadkommas, utan att man behöfver låta gradtalet för de 



