20 H J. M E L L I N. 



hela rationela funktionerna g„ växa öfver hvarje gräns samtidigt med ordnings- 

 talet. I vissa fall kunna till och med samtliga g„ sättas lika med noll, utan 

 att serierna upphöra att vara likformigt konvergenta. Behandlingen af de 

 funktioner, för hvilka \M'.^ — \, är dock till en stor del beroende af de spe- 

 ciela antaganden, som kunna göras angående konstanterna a, b, hvarföre fallet 

 I Jf I = 1 lämpligast afliandlas särskildt för sig. 



Af ett vida mindre intresse än de tvenne föregående synes fallet I Jf j < 1 

 vara, emedan gradtalet för de hela rationela funktionerna r/„ med ordnings- 

 talet måste få växa öfver hvarje gräns, för att serierna skola blifva likformigt 

 konvergenta. 



6. Låt oss således nu likasom i det följande antaga, att gradtalet för 

 täljaren i r (x) är antingen större än eller lika med gradtalet för nämnaren, 

 samt att qvantiteten M, om det senare är fallet, till sitt absoluta belopp är 

 större än 1. Låt oss, med ett ord sagt, antaga att 



0< 



1 



M 



<1. 



Låt vidare t vara en positiv qvantitet, som uppfyller vilkoret 



1 



M 



<E< 1. 



Emedan 



s (x) = —r\ 

 ^ ^ r [x) 



och följaktligen 



Km s{x) = ^, 

 så kan man fastställa en positiv qvantitet q, som är så stor att 



\S (X)\< £ 



för hvarje värde på x som till sitt absoluta belopp är större än q. Fram- 

 ställes s (x) under den bekanta formen af en summa utaf partialbråk och en 

 hel rationel funktion, så måste uppenbarligen denna hela funktion reducera sig 



till konstanten ^. Härleder man ur denna summaform genom differentiering 



liknande uttryck för de deriverade af s (ce), så utvisa dessa uttryck omedel- 

 bart att 



