22 



Hj. m e l l i n. 



00 



(32) Six;a^) = ^ 



(>0 





~i\(x — a + n)^ (x -a + n) 



ß-i 



00 

 X — a + n , 



i») 



(9,«) 



^f^-A- = ^^p-/^ ' ^ = %""="- f'< 



är en icke blott likformigt utan också en i den mening absolut konvergerade 

 serie, att 



00 



(»o 

 Ä.. 



(x ~ a + n)^ 



+ ...+ 



(11) 

 A, 



X — a-\- n 



har ett ändligt värde för hvarje värde på x, som icke gör någon af termerna 

 oändligt stor. 



När vi i det följande använda beteckningen S(x;a), så förstå vi dermed 

 alltid en serie, som är definierad genom likheten (32), hvari åter konstanterna 

 A äro underkastade vilkoren (26), hvilka lemna konstanterna 



(11) c«) (0) 



Afi,A^_^, ■ ■ • ,A^ 



uti första termen af *S' (x ; a) obestämda. Genom att välja dessa på olika sätt 

 erhåller man ett oändligt antal funktioner, hvilka alla. satisfiera hvar sin likhet 

 af formen 



(33) S(x+l;a^) = r (x) S (x ; a^) -R{x; a^). 



Låter man sedan q uti likheten (32), deri vi för enkelhetens skuld satt 



fe,«) ()i) 



antaga värdena (>= 1, 2, . . ., r, så erhållas r skilda grupper af funktioner med 

 ett oändligt antal i hvarje grupp. Hvar och en af dessa grupper motsvaras 

 af ett bestämdt system rekursionslikheter af formen (26), förmedelst hvilket 

 man kan beräkna hvarje till gruppen hörande funktion^ och hvilket icke är 

 lika med något till en annan grupp hörande system, alldenstund äfven om 

 u = a ■ likheten 



s'-^^ (a —n) = s'-^^ {a ■ — w) 



icke kan ega rum för mer än ett ändligt antal värden på n såsnart a^ och a^- 



