Om en ny JJuss af iranscendcnta funktioner. 23 



äro olika. Såsom de förnämsta represciitautcnia af dessa grupper kunna vi 

 betrakta serierna 



P{x]a,),F(x;aJ, .. .,P{x;u.), 



hvilka tillordna sig de r faktorerna 



r"" {x - «,) , i^= {x - «J , . . . , r"'- {x - a,) 



i täljaren af F{x) enligt den principen, att r'*e (a; — « ) och P (a; ; « ) ha samma 

 oändlighetsställen. Den grupp, hvaraf P{x;a) är en representant, kunna vi 

 benämna gruppen («^). Tvenne serier, hörande till skilda grupper kunna i 

 följd af vilkoren i § 3 icke ha något gemensamt oändlighetsställe. Deremot 

 blifva de serier, hvaraf gruppen (a ) består, alla oändligt stora så snart argu- 

 mentet X sammanfaller med en term in den aritmetiska serien 



%'%-!> «p - 2,... ,ap -«,... 



Riktigheten af detta sista påstående grundar sig på den satsen, ait samt- 

 liga lionstanter A uti en och samma term af en serie 8 (x ; a ) icJce kunna vara 

 på en gång noll, med mindre än att S (x ; a ) är identiskt lika med noll och 

 således icke någon verklig partialhråksserie. Sanningen af denna sats härflyter 

 åter ur rekursionsformlerna (20), ity att man icke blott kan uttrycka h var och 

 en af konstanterna 



(»o {«) (»o 



såsom en homogen och linear funktion af 



(0) (0) (0) 



utan också, alldenstund 



I s (« — «) I > O, 



hvar och en af de senare såsom en homogen och linear funktion af de förra. 



Ur rekursionsformlerna (26) härflyter också omedelbart riktigheten af 



satsen: om hvar och en af konstanterna A uti första termen af en serie 



8{x j a ) är lika med den motsvarande konstanten i första termen af en annan 



till samma grupp hörande serie, så äro serierna sjelfva identiskt lika. 



Vidare är det också uppenbart, att hvarje homogen och linear funktion 



