26 



Hj. Mellin. 



sätt valda serier samt lika inånga konstanter f. Genom att nu endast variera 

 dessa konstanter erhåller man alla funktioner, som inbegripas uti det första 

 uttr3fcket för S{x). Aro serierna S gifna ocli gäller det att framställa 8{x) 

 under formen (40), så har man att bestämma konstanterna p ur ett system af 

 f<,^+ (j^-|- . . . + f< = (i lineära likheter, hvilket utgör en sammanfattning at der 

 system, som erhållas genom att i systemet (36) låta index q efter hand antaga 

 värdena 9 = 1, 2, . . . , r. Betecknas determinanten till det sålunda erhållna 

 systemet med z/ så är denna lika med 



(41) 



z/ = 



^„ 



z/. 



om z/ blott och bai-t utmärker scemat: 



(0) (9) 



(Q) 



A.. 





Ur denna form för ./ framgår att 



(42) ^ = ^, < 



z/,.. 



Genom att på ett lämpligt sätt bestämma konstanterna p kan S{x) göras 

 identiskt med hvilken som helst af serierna 8 [x ; a^ och är derför ett all- 

 männare uttryck än hvar och en af dessa serier. 



7. Uti denna § skola vi nu slutligen uppvisa att hvarjc funktion R{x;a^^ 

 uti de likheter, som satisfieras af serierna S{x;a^, är en rationel funktion. 

 I och med detsamma ha vi också bevisat, att R (x) uti likheten (38) alltid är 

 en rationel funktion. 



I denna afsigt undersöka vi differensen 



öl {^ ; «J = ■'■„ (^) S (x ; a) - r. (x) S {x + I ; a) 



