Om en ny klass af transcenclenfa funktioner. 



27 



(0) 



A. 



(x - af 



CO 



11=1 



r„ (x) 



(") 

 A., 



, + . 



+ 



A. 



{x — a + n)'^ x — a + n) 



der vi för korthetens skuld satt 



r, (a;) 





(«— ft+wy 



-^^+. 



+ ■ 



(1,-1) 



(9,") 





a , fly = ft . 



Emedan r„ (ic) för x = a blir noll af ordningen ;<' så kan första delen af 

 sista membrum sättas lika med en hel rationel funktion, hvilken högst är af 

 graden ft— 1, om f< likasom i §2 betecknar gradtalet för r^[x). Emedan 

 ^ (^ ' %) ^^^^^ säkerhet är en funktion af hel karakter, så kan ingen af ter- 

 merna i andra delen af sista membrum blifva oändligt stor. Om man således 

 under summationstecknet utvecklar den allmänna termen efter potenser af 

 x — a + n, så måste de negativa potenserna i första delen af termen upphäfvas 

 af de negativer potenser, som uppträda i andra delen af termen. Emedan 

 gradtalet ;/ för r,^ (x) icke är mindre än gradtalet v för i\ (x), så har uppen- 

 barligen den högsta positiva potens af x — a + n, hvilken ofverhufvud kan upp- 

 träda i termen, till exponent ;< — 1. Den allmänna termen kan således bringas 

 under formen 



^„ + A^ {x — a + rr) + . . . + A^__^ {x — a + iif ' . 



Utvecklas detta uttryck efter hela och positiva potenser af x så antager 

 % (x ; a) utseendet 



00 



B+B,x + 



+ B x 



fi-i 



Emedan serien S {x\a) är likformigt konvergent, så är detsamma också fallet 

 med den sist erhållna serien. Man får således ordna densamma efter potenser 

 af x och erhåller derigenom ett resultat af formen 



(43) 



,'e' 



(0) 



der «f , «.f , 



^ft(a;^;fg = a:' + «r^ + ...+«; 



ffi,'^' äro af x oberoende storheter. 



JP> J'~' 



X 



