28 Hj. m ELL in. 



I följd af likheten 



(44) B{x-a) 



r, {x) 



är R{x-^a^ uti likheten (33) en rationel funktion, hvilken inom ändligt om- 

 råde icke har andra oändlighetsställen än möjligtvis 



^, *.; • • • > ^,- 



Vidare utvisar likheten (37), att R [x) också är en rationel funktion, 

 livars nämnare är lika med r, {x) samt täljare lika med 



r 



p=i 



Denna kan således bringas under formen 



(46) Çfl{x) = a^->ra^x-\- . . .^-a^x ^~\ 



I anledning af de resultat, hvartill vi senast kommit, framställa sig nu ett 

 par frågor till besvarande. Låt oss betrakta det allmänna uttrycket 8{x)^ 

 hvilket omfattar alla funktioner, hos hvilka vi hittills uppvisat egenskapen 



8{x + l) = r{x)S{x)-B{x) 



för det fall att R{x) betecknar en rationel funktion. Emedan serien (31) är 

 konvergent, så är det tydligt, att hvarje funktion 8{x) också är i besittning 

 af egenskapen 



(47) lim S (x + m) = 0. 



Omfattar nu uttrycket S (x) alla tänkbara funktioner med dessa tvenne egen- 

 skaper? Då vi göra denna fråga, så få vi naturligtvis icke antaga att grad- 

 talet för täljaren i R (x) är större än ;« — 1 . Vi kunna visserligen bilda ett 

 oändligt antal funktioner af formen *S'(*;), af hvilka hvar och en satisfierar sin 

 särskilda likhet af formen (38), der R(x) är entydigt bestämd så snart 8(x) 

 är bildad. Men kan man omvändt först godtjckligt fastställa en rationel funk- 

 tion, hvilken har samma nämnare som r (r) och i hvilken gradtalet för täljaren 

 icke är större än (i — 1, samt derefter bilda en funktion S(x), som satisfierar 

 likheten (38)? 



Då vi söka att besvara dessa frågor, finna vi ett nytt, allmänt och ele- 



