Om en ny klans af franscendcnta funktioner. 29 



gaiit uttryck f()r funktiouenia S (x), hvilket i enkelhet vida öfverträffar ut- 

 trycket (37). 



Emedan vi ständigt förutsätta att |ilif|>l, så är enligt § 2 



lim (x , ni) = 00 . 



m=oo 



Hvarje funktion, som besitter egenskapen (47), är således à fortiori också i 

 besittning af egenskapen 



,. S{x + m) 

 hm — 7 T — = 0. 



m=00 (p^ J "v 



I de satser, som vi nu skola bevisa och som innehålla svaren på de före- 

 gående frågorna, får S (x) till en början beteckna en funktion i detta ords 

 allmännaste betydelse. Man finner à posteriori, att de egenskaper som tilläggas 

 S (x) göra denna till en analytisk funktion. 



8. Först och främst bevisa vi sanningen af följande sats. 



Hvarje raiionel funktion B (x), hvilken har samma nämnare som r (x) och 

 i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än f« — 1, motsvaras af en blott 

 af en enda funktion, hvilken besitter de häda egenskaperna 



lS{x+l) = r{x)S{x)-B (x) 

 (481 1 ,. S(x + m) 



;l=00 [p^ ) *'*J 



Om man upprepade gånger använder den förra af dessa likheter, så er- 

 hållas 



S {x + m) 



(49) 



r {x)r (x+ 1) . . . r (x + m — 1) 



/B (x) B(x+ 1) B{x + m- 1) 



^ ^■''■> '\r (x:) ^ r {;x) r {x + \) ^ ' " "^ r (x) r {x + 1) . . . r {x + m - 1) 



Emedan 



S{x + m) S {x + m) {x , m) 



r{x)...r{x + m-\)~ (x,m) r (œ) . . . r (a; + m - 1) 



och enligt § 2 



{x,m) -TI/ \ 



!!Zr{x)r{x+l)...rix + m-l) ^^^^^J' 



