30 Hj. Mel LIN. 



så utvisar den senare af liklieterna (48), att första membrum af likheten (49) 

 med växande m obegränsadt närmar sig noll. Om det således öfverhufvud 

 finnes en funktion med egenskaperna (48), så är densamma entydigt bestämd 

 genom likheten 



B(x + n) 



(50) S (o;) = 5;-- 



{x) r {x+ \) . . .r {x + n) 



Skall härigenom existensen af en funktion med de tvennc egenskaperna (48) 

 vara ådagalagd, så måste högra membrum af likheten (50) vara en konverge- 

 rande serie, hos hvilken dessa egenskaper kunna uppvisas. 



Emedan förhållandet emellan en term och den närmast föregående i serien 

 8{x) är lika med 



B{x + n) 1 



B(x-\-n— \) r{x + n) 

 och emedan uti detta uttryck 



samt enligt antagandet 



R{x -[-n) 



„=o -Ra* + w - 1) 



j_^J |_!J_| 



;=^k(^ + n)! |jf|<i' 



så inses först och främst genom mycket vanliga betraktelser, att IS {x) är en 

 absolut och likformigt konvergerande serie. Densamma framställer således en 

 analytisk funktion, hvilken uppenbarligen är af rationel karakter. Ur den 

 enkla bildningslagen för termerna framgår vidare att serien besitter den första 

 af egenskaperna (48). Emedan 



R{x-\-n) y, {x) _ _ _ r^{x + n ) ^{x + n) 



r {x)r {x-\-\) . . . r (x + n) ~ r„ (x) r„ (x + n) t\ (x + n) 



der (x) är en hel rationel funktion, hvars gradtal icke är större än ft— 1, 

 så är gradtalet för täljaren i det sista uttrycket icke i större än 



• (n+ 1) r + f« - 1, 



under det att gradtalet för nämnaren är lika med 



{n + 1) (i + v. 



Emedan v <: fi så är gradtalet för täljaren mindre än gradtalet för nämnaren. 



