Om en nij Mass af transcendenta funktioner. 31 



Serien 8{îc) liar således med livar och en af sina termer egenskapen 



lim S (pc + m) — O 



»l=CO 



gemensam. Häraf följer à fortiori, att <S (x) också besitter den andra af egen- 

 skaperna (48). 



Genom att nu åt de n koefficienterna uti 



yl {x) =«,+«„»; + ... a^^ / 



tilldela olika värden erhåller man ett oändligt antal funktioner, af hvilka livar 

 och en satisfierar ett bestämdt likhetssystem (48). Till dessa funktioner höra 

 alla funktioner af formen (37). Det återstår ännu att undersöka, huruvida 

 uttrycket (50) icke är allmännare än (37) eller, med andra ord sagdt, om hvarje 

 funktion af formen (50) kan bringas under formen (37). 



För att kunna afgöra detta, måste vi öfvertyga oss derom, att man alltid 

 ibland de funktioner, som falla under formen (37), kan uttaga ;< stycken, 

 emellan hvilka ingen homogen och linear likhet med konstanta koefficienter 

 kan ega rum, med mindre än att samtliga koefficienter på en gång äro noll. 



Låt oss t. ex. förfara på det sätt, att vi ifrån gruppen («,) uttaga (/, 

 serier S{x;a^) för hvilka determinanten z/, icke är noll, ifrån gruppen (a,J 

 (t,, serien S{x;aJ för hvilka determinanten z^^ icke är noll, o. s. v., samt 

 slutligen ifrån gruppen (a,) ;«,. serier S (;t: ; «,.) för hvilka determinanten J, icke 

 är noll. Vi erhålla sålunda öfverallt fj^ + fj^ + ... + ;<,. = (t serier, som alla 

 falla under den allmänna formen S(x) och hvilka, skrifna i en viss ordnings- 

 följd, må betecknas med 



(51) S^{x),.%{x),...,S^{x). 



Emellan dessa serier kan nu ingen homogen och linear likhet med konstanta 

 koefficienter ega rum, med mindre än att samtliga koefficienter på en gång 

 äro lika med noll. Ty skulle en sådan bestå, så måste också, alldenstund 

 serier hörande till skilda grupper icke ha något gemensamt oändlighetsställe, 

 en homogen och linear likhet med konstanta koefficienter ega rum emellan de 

 ur gruppen (a ) , (9 = 1 , 2 , . . . , r), uttagna serierna, hvilket åter är omöjligt eme- 

 dan determinanten z/ icke är noll. 

 Låt nu 



S,{x+\) = r{x)S,(x)-B,{x) 



. A =1,2,..., {t 



