Om en ny klass af transcendenta funktioner. 33 



«... = «,./', + «.. i^. + • • • + «^. iV = ^ 



«i. = «,^ 2^ + «.^ ^^. + • • • + «^^i'^ = o 



genom ett värdesystem 



deri samtliga ;p icke vore lika med noll. Då skulle f{x) besitta egenskapen 



f{x+\) = r{x)f{x), 

 och följaktligen vore 



^(^ + ^'0 =fu\ 



r{x)r(x-{- \)...r{x + m-\) ' ^^^' 

 huru stort ock det positiva hela talet m må vara, hvilket, alldenstund 

 lim f {x + m) = O , lim \ r (x + m — 1 ) > 1 , 



icke kan ega rum med mindre än att fix) är identiskt lika med noll. För 

 det nyss fixerade värdesystemet f måste, med andra ord sagdt, likheten 



/ G^) ^p.^. i^-) + p. s., (*) + •••+ p, s^ (x) = o 



ega rum, hvilket strider emot vårt antagande, att emellan funktionerna S in- 

 gen homogen och linear likhet med konstanta koefficienter kan ega rum, med 

 mindre än att samtliga coefficienter på en gång äro noll. Härmed är den 

 förberedande satsen om determinanten ô bevisad. 

 Låt nu slutligen 



r, (x) 



i den förra af likheterna (48) vara en godtycklig rationel funktion, hvars näm- 

 nare är lika med r^ (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än 

 (« - 1, samt S{x) den funktion som fullständigt karakteriseras genom de sam- 

 tidiga likheterna (48). Sätt 



9i(x) = a^+a^x + .. . + a^ /~' 



och låt 



S. (x), S^ (x), ...,S(x) 



