34 H J. M E L L I N. 



likasom förut vara (t funktioner (51), emellan hvilka ingen homogen och linear 

 likhet med konstanta koefficienter kan bestå,, med mindre än att samtliga 

 koefficienter på en gång äro noll, samt bilda åter af dessa funktioner det ho- 

 mogena och lineära uttrycket 



Emedan determinanten d till det lineära likhetssystemet 



enligt föregående sats icke kan vara lika med noll, så finnes det ett och blott 

 ett enda värdesystem 



för hvilket detta system af likheter eger rum, för hvilket, med andra ord sagdt, 

 9Î. (x) och 01 [x] äro identiskt lika. För detta värdesystem äro nu också de 



liknämniga bråken R {x) och R (x) identiskt lika, och följaktligen satisfierar 

 också f{x) den förra af likheterna (48). Emedan f{x) besitter egenskapen 



limf(x + m) = O, 



så satisfierar fix) också den senare af de likheter, som satisfieras af S{x). 

 I stöd af den i början af denna § bevisade satsen äro således f{x) och S{x) 

 identiska. Härmed är nu följande sats bevisad. 

 Äro 



S, {x) ,S.Ax),..., S^ (x) 



fl funktioner af formen (37), hvilka äro så valda att ingen homogen och Uneär 

 likhet med konstanta koefficienter dem emellan kan ega rum, med mindre än 

 att samtliga koefficienter på en gång äro lika med noll, så kan hvarje funktion 

 S(x) med de tvenne egenskaperna (48), der R{x) betecknar en rationel funk- 

 tion, hvilken har samma nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet för täljaren 

 icke är större än f( - 1, alltid och blott på ett sätt uttryckas såsom en homogen 

 och Uneär funktion af S, {x) , S„{x) , . . . , S^ (;x), d. v. s. man kan alltid och 

 på ett sätt bestämma konstanterna p^ ,p^ , ■ ■ -Pf^ så att likheten 



S{x)= p^ Ä', (x) + p.^ S^ {x) + ...+ p^ .s; (x) 



eger rum för alla värden på x. 



Vi ha i det föregående bevisat, att determinanten ö icke kan vara noll, 



