OiH (Il ny Mass af transcendenta funktioner. 35 



om funktionerna S , .S'., , . . , »S' äro så valda, att, ingen liomogen och linear 

 likhet med konstanta koefficienter dem emellan kan ega rum, med mindre än 

 att samtliga koefficienter på en gång äro lika med noll. Med ledning af de 

 dervid använda betraktelserna inses, hurusom deremot en likhet af denna be- 

 skaffenhet alltid eger rum, om detcrminanten ô är lika med noll. Ett nöd- 

 vändigt och tiUräcUigt vilJcor för att funktionerna S^, S^ ,,..., S^ skola vara 

 af hvarandra lineärt oafhängiga är således att determinanten ô icke är lika 

 med noll. 



9. Låt nu R (./) betyda en allmän rationel funktion, hvilken har samma , 

 nämnare som /-(a) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än ,« — 1, 

 och låt oss med en partikiäär integral till systemet af funktionaleqvationerna 



S{x ^ \) = r {:c) S{x)- R{x) 



(53) liJ-^K^ 

 I >„=cc [x , m) 



förstå hvarje funktion, hvilken satisfierar något af de oändligt många system, 

 hvari systemet (53) kan öfvergå derigenom, att R{x) får beteckna en viss 

 speciel rationel funktion af den nyss angifna beskaffenheten. Vi kunna då 

 uttala följande sats, hvilken så godt som ordagrant öfverensstämmer med en 

 motsvarig sats inom teorin för de lineära differentialeqvationerna. 

 Om 



(54) S^{^),S„_{x),...,S^{x) 



utgöra ett sådant system af partikulära integraler till systemet af funktional- 

 eqvationerna (53), att dess déterminant d icke är lika med noll, så kan hvarje 

 annan integral S (x) till det nämda systemet uttryckas såsom en homogen och 

 linear funktion af <S', (x), *S', (x) , . . . , S^ (x), d v. s. under formen 



(55) S{x) = p,S (x) + 2K '% {x) + ...+ 1\, '?,, {x). 



Emedan uttrycket (55) genom en lämplig bestämning af konstanterna 

 P, ilKi ■ ■ ■ iV k'i" göras identiskt med hvilken som helst af de funktioner, 

 som satisfiera hvar sitt speciela likhetssystem af formen (53), så benämna vi 

 detta uttryck den allmänna integralen till systemet af funktionaleqvationerna 

 (53). Uti den allmänna integralen äro de partikulära integralerna (54) så till 

 vida arbiträra, att de blott böra uppfylla vilkoret | d [ > 0. Om vi vidare med 

 ett fundamentalsystem af partikulära integraler förstå hvarje system (54), af 



