36 H j. M E L 1. 1 N 



hvars elementer hvarje integral till systemet (53) kan uttryckes såsom en ho- 

 mogen och linear funktion, så kunna vi ytterligare uttala följande satser. 

 De partikulära integralerna 



till systemet af funktionalequationerna (53) utgöra ett fimdamentalsystem alltid 

 och endast ifall en likhet af formen 



P. S, (^) +P.. S„_{œ)i-...+ p^ S^^ {x) = 



dem emellan icke kan bestå, med mindre än att samtliga konstanter p är o lika 

 med noll. 



Emellan ^ + 1 partikulära integraler till systemet (53) består alltid en 

 homogen och linear likhet med konstanta koefficienter. 



10. Låt oss nu taga i betraktande likheten 



F{x) = P(:x)+Q{x), 



der P{x) betecknar partialbråksserien och Q (x) den additiva potensserien för 

 F{x). Emedan F(x) enligt de föregående undersökningarne utgör en parti- 

 kulär integral till systemet af funktionaleqvationerna (53), så satisfierar den- 

 samma en likhet af formen 



(56) P{x+\) = r{x)P(x)- e\x), 



der B (x) är en ratiouel funktion, hvilken har samma nämnare som r (x) och 

 i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än jt — 1. Sammanställas de 

 tvenne föregående likheterna med likheten F(x + 1) — r (x) F{x), så finner 

 man, att den beständigt konvergerande potensserien 



(57) Q{x) = c,, + c^x + c^x'- + . . . 

 besitter egenskapen 



(58) Q(x+l) = r (x) Q (x) + Ft{x). 



Vi skola nu bevisa en allmän sats, genom hvilken vi läi'a oss känna 

 egenskaper, som fullständigt karakterisera funktionen Q (x), hvilken icke kan 

 satisfiera det system af funktionaleqvationer, som i det föregående betraktats. 

 Detta system innehålles såsom ett specielt fall uti följande system 



,S{x+l) = r (x) S{x)-B (x) 

 •■ «=00 {x,m) ' 



