Om en ny klass af transcendenta funktioner. 37 



der K betecknar en arbiträr konstant samt B {x) en allmän rationel funktion, 

 hvilken har samma nämnare som r [x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke 

 är större än ;< — 1. Vi skola nu fullständigt integrera detta allmännare system 

 samt ui)pvisa, att Q [x) är en partikulär integral till detsamma. 



Emot hvarje par af en konstant K och en rationel funktion E (x), hvilken 

 har samma nämnare som r [x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är 

 större än f< — 1 , svarar alltid en och blott en enda funktion S {x) hvilken be- 

 sitter egenskaperna (59). Bet är vidare alltid och blott på ett sätt möjligt 

 att bestämma konstanterna p^ ,p., , ■ ■ ■ ip^^ , q sålunda att 



S{x)=p, S^ {x)-tp^S,_ {x) + . . . +p^S^{x) + qQ(:x), 



der S^ (x) , S^{x) , . . . , S (x) utgöra ett fundamentalsystem af partikulära inte- 

 graler till systemet af funktionaleqvationerna (53). 



Grenom att upprepade gånger använda den förra af likheterna (59) er- 

 håller man 



S(x i-m) 



r (a-) r {x) + 1) . . . r (x -\- m -1) ~ 



I B (x) B{x + 1) B{x + m - 1) \ 



^ ^'''^ ~ {VJxj ^ r (x) r (x + 1) + • • • ^ r (x) r {x ^ \) . . . r {x + m - 1) j" 



Emedan 



S{x + m) 

 hm ~ 



„^^r{x)r{x + l) . . .r{x + m-l) 



S(x + m) (x, m) -r^Ti/ \ 



lim — ) r^ XX f , -,\ ' , , ; ^ = KF (.t), 



„,=00 {x,m) r{x)r(x+\). . . r{x + m - 1) ^ ^' 



enligt den senare af likheterna (59) samt § 2, så fås 



^ B{x + n) 



S ix) - KF{x) +2 r{x)r{x+\)...r{x + n)' 



Om således en funktion existerar med egenskaperna (59), så måste funktionen 



kunna framställas under denna form. Emedan högra membrum också verkligen 



representerar en funktion, hvilken uppenbarligen (c. f. § 2) besitter de antagna 



egenskaperna hos venstra membrum, så är härmed riktigheten af satsens förra 



del bevisad. Vi ha tillika för S{x) erhållit ett analytiskt uttryck, som utvisar 



att S (;ï) är en monogen funktion. 



Emedan 



F{x) = P{x)+Q{xl 



