38 H J. M E L L I N. 



och emedan det alltid finnes ett och blott ett enda Vcärdessystem p ,p., , . . . ,p 

 sådant att 



OD p /' _i_ ^ 



^^(^) +|7(.) r (. + 1)7-TFT^=^^. ^. H +1K 6\ (.;) + . . . +p^ S^ (.r), 



så är slutligen också riktigheten af satsens senare del bevisad. 



Då nu följaktligen uttrycket 



S{x) = /,, S, (x) +p„_ S„_ {x) + . . . +p^S^{x) + KQ (x) 

 genom en lämplig bestämning af konstanterna p, ,Pr, , ■ ■ ■ ,p^, K kan göras 

 identiskt med hvilken som helst af de funktioner, som satisfiera hvar sitt spe- 

 ciela likhetssystem af formen (59), så är detta uttryck den allmänna integralen 

 till systemet af funktionaleqvationerna (59), hvilket genom framställningen af 

 denna integral nu är fullständigt integreradt. 



Antager man att K= 1 och bestämmer konstanterna p så att 



P. S, (aO +p^_ S.^ {x)-h... +p^S^{x) = F(x), 

 så blir 



S{x) = F{x). 

 Antager man att K = O och bestämmer konstanterna p så som nyss, så 

 blir 



6'(ä;) = P(4 

 Antager man att /i — 1 och sätter p^ =p^ = . . . =p - O, så blir 



Six)=Q(x). 

 I stöd af den nyligen bevisade satsen kunna vi nu uttala följande teoreni;, 



af hvilket de motsvariga satserna om I^ (x) kunna betraktas såsom ytterst 

 speciela fall. 



FunMionen F (x) hvilken hesitter och är fullständigt bestämd genom egen- 

 skaperna 



F (x + l)= r (.t) F (x) , lim ^-^-^-''^ = i, 



kan sönderdelas i summan af tvenne andra funktioner F (.'c) och Q («), af 

 hvilka P{x) är en par tialhr åksserie af formen (37); hvilken hesitter och är 

 fullständigt bestämd genom egenskaperna 



Pix+l)^ r (.;) P (x) - lf{x) , ;f^^^-^^' - O, 



samt Q (x) en beständigt konvergerande poiensserie, hvilken besitter och är full- 

 ständigt bestämd genom egenskaperna 



