Om en ny klass af transcendenfa funktioner. 39 



* O (x + m) 



Qix+\) = r{x)Q{x) + R (x), li»^^^^^ = h 



der R (x) är en viss rationel funktion, hvilken har samma nämnare som r (x) 

 och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än ji — 1 . 



Ett medel att bestilmraa B, {x) skall i det följande angifvas. 



Ibland de partikulära integralerna till systemet (59) äro funktionerna 

 F{x),P(x) och Q{x) särskildt anmärkningsvärda på följande grunder. 



F(x) är, på en konstant faktor när, den enda funktion, som satisfierar 

 likheterna (59), då man antager att B (x) är identiskt noll. 



Man kan erhålla en funktion, som satisfierar att likhetssystem af den sist 

 närada beskaffenheten, endast genom att i den allmänna integralen (60) sätta 



P, '^' (^) + IK '% (x)i-...+ p^ S^ {x) = KP (x). 



Q {x) är, på en konstant faktor när, den enda funktion af hel karakter, 

 hvilken förmår satisfiera likhetssystemet (59). Uti detta system måste då nöd- 

 vändigt B(x) = -KB (x). Af denna orsak är den rationela funktionen B (x) 

 också särskildt anmärkningsvärd. 



11. Enligt de föregående undersökningarne svarar emot hvarje funktion 

 S (x) af formen (37) en rationel funktion B (x), hvilken har samma nämnare 

 som r(x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än ;/ — 1, och för 

 hvilken likheten 



S(^x+ \) = r{x)S{x)-B{x) 



eger rum. Omvändt motsvaras också hvarje rationel funktion jR (x) af den 

 antydda beskaffenheten af en enda funktion af formen (37), hvilken satisfierar 

 denna likhet. Det återstår ännu att angifva, huru den ena af dessa funktioner 

 skall bestämmas när den andra är gifven. 



Låt oss först antaga, att S (x) är gifven och att R{x) skall bestämmas. 

 Emedan nämnaren i B (x) är lika med r^ (x), så gäller det blott att bestämma 

 täljaren ^ {x). Låt a vara en punkt, i hvilken hvarken S (x) eller S {x + 1) 

 blir oändligt stor. Utvecklas nu r^{x) ,r^(x) , S{x) och S{x-\-\) efter hela 

 och positiva potenser af x — a, och ordnas uttrycket 



d{{x) = r,,{x)S{x)-r,{x)S{x+l) , 



efter växande potenser af x — a, så veta vi på förhand, att koefficienterna för 

 de potenser, hvilkas exponenter äro större än ft - 1, måste bhfva lika med 



\ 



