40 H J. M E L L I N. 



noll. Om vi således af den erhållna utveckligen bibehålla blott de termer, i 

 hvilka exponenten för o; — « är ^(j — 1, så ha vi erhållit den hela rationela 

 funktionen ß{ {x) utvecklad efter potenser a.î x ~ a. Sättes 



gi{x)=Ä^+A^{x-a)i-...^Ä^ {x-af~\ 

 så är uppenbarligen 



(6 1) A+. = »'o («) -rf-'- + ^0 («) -r^l + • • • + -T-^- ^ («) 





Har man på detta sätt för elementerna 



S^{x),S^{x),...,S^{x) 



i ett fundamentalsystem af partikulära integraler till systemet af funktional- 

 equationerna (53) bestämt de motsvariga funktionerna 



B^{x),B^ix),...,E^{x), 



så är den rationela funktion B (a?), som svarar emot en annan godtyckligt 

 gifven partikulär integral S (x), bestämd genom likheten 



B (x) = p, B^ (aO + p, B^ (.t) + . . . + p^ B^ (x), 



om p^ ,p^ , . . . iPf^ är det värdesystem för hvilket likheten 



S (x) ^p^ S, {x) +p, S^ (x) + ...+p^8^{x) 



eger rum. Detta värdesystem p erhålles, enligt hvad § 6 lätt gifver vid 

 .handen, genom lösningen af ett system af f« lineära likheter. 



Är B («■) gifven, så är den motsvariga funktionen S (x) omedelbart be- 

 stämd genom likheten 



B{x + n) 



y B{x + n) 



^ W £ij(x)r{x+l)...r {x + n) 



Här uppträder dock icke S {x) under partialbråksformen. Har man emellertid 

 för ett fundamentalsystem, hvars elementer 



8^{x),S^{x),...,S^{x) 



