Om en ny Mass af transcendenta funktioner. 41 



äro gifna under partialbråksformcn, bestämt de till de resp. elementerna hö- 

 rande rationela funktionerna 



så kan alltid S [a) genom lösningen af ett S3'stem af ;< lineära likheter brin- 

 gas under partialbråksformen. Man har nemligen likheten 



om p, ,p., , ■ . . ,p^ är det värdesystem, för hvilket likheten 



eger iiim. 



12. Efter det, som senast framstälts angående systemet af funktional- 

 eqvationerna (53), är det icke nödigt att särskildt genomgå lösningen af de 

 nyss behandlade problemen, när det gäller det allmännare systemet af funktio- 

 naleqvationerna (59). Det bör dock anmärkas att lösningen af problemen i 

 detta fall förutsätter, att P{x) samt den emot P(x) svarande rationela funk- 



tionen R (x) äro bekanta, hvilket åter kan anses vara fallet, så snart samt- 

 liga konstanter Ä uti partialbråksformen för P(x) äro bestämda. Hvad nu 

 dessa konstanter A beträffar, så ha vi uppvisat, att desamma kunna beräknas 

 med tillhjelp af r skilda system rekursion slikheter af formen (26), motsvarande 

 de r addenderna i 



(62) . P{x) = P{x-a,) + P(x;aJ + ... + P{x;a,). 



Dessa rekursionsformler lemna dock samtliga konstanter i första termen af 

 hvarje addend obestämda. Vi måste nu angifva ett medel att också bestämma 

 dessa konstanter. Vi utgå ifrån de för konstanterna .4 i § 5 uppstälda inte- 

 graluttrycken. Betecknas den logaritmiska derivatan af F(x) med W(x) samt 

 den logaritmiska derivatan r(x) med V' (*) så är uppenbarligen 



(63) W(x) = f( + fl, i' {x - a) + f«., é [x - a^ + . . . + ,«., ij) {x - a,) 



- 1', 'il} [x - h^) - v^ 'il> (x-bj- . . . - v,, il){x- b,). 



För i/' (a-) har man åter den bekanta partialbråksserien 



^^(-^--^-l4'-xT-i)Al-xT'. 



