Recherches sur l'équation de Kummer, par E. Goursat à Toulouse.*) 



Le problème de la transformation des séries liypergéométriques a été posé dans 

 toute sa généralité par Mr. Kummer. Dans un Mémoire célèbre (Journal de 

 C BELLE, tome XV), il a montré que la question se ramenait à la recherche des 

 intégrales algébriques d'une équation différentielle du troisième ordre, à la 

 quelle son nom est resté attaché, et il en a déduit un grand nombre de ré- 

 sultats intéressants. Depuis le beau Mémoire de Riemann sur les fonctions 

 hypergéométriques et le travail de Mr. Schwarz sur les cas d'intégration algé- 

 brique (Journal de Bobchabdt, tome 75), cette équation a été étudiée par un 

 grand nombre de géomètres, notamment par MMr. Catley, Klein (Mathe- 

 matische Annalen, Band XII, pag. 107 et 503. — Band XI, pag. 115) et 

 Brioschi (Mathematische Annalen, Band XI, pag. 111 et 401. — Annali di 

 Mathematica, tome X, 2""' Série, page 111. — Comptes- Rendus, tome XCIII, 

 page 941.) Les Mémoires que je viens de citer ont surtout en vue les cas 

 examinés par Mr. Schwarz. La même équation s'est présentée cà un point de vue 

 un peu différent dans des recherches de Mr. Halphen (Comptes-Rendus, 13 

 Juin 1881) et de Mr. Brioschi (Annali di Blathematica, tome X, 2'"" Série, 

 page 233).**) 



J'étudie dans ce Mémoire les intégrales de l'équation de Kummer qui 

 sont des fonctions rationnelles de la variable en me plaçant à un point de vue 

 tout-à-fait général. J'avais déjà traité dans un travail antérieur une question 

 qui n'est qu'un cas particulier de ce problème (Annales de TEcole Normale, 

 tome X, 2'"" Serie. Supplément.) Dans la première partie, j'établis par deux 

 méthodes différentes quelles doivent être les propriétés d'une fonction rationnelle 

 pour qu'elle soit une intégrale de l'équation de Kummer. La seconde partie 

 est consacrée à l'étude du problème d'algèbre auquel ou est conduit, et j'ob- 



*) Un résumé de ce Mémoire a paru dans les Mathematische Annalen, Band XXIV. 



**) Voyez deux Notes l'écentes de Mr. Klein sur une équation analogue à l'équation de Kummer: 

 Ueher gewisse Differentialgleichungen dritter Ordnung. — Berichte der K. Sachs. Gesellschaft der 

 Wissenschaften, 29. Janvier 1S83. — Matliematische Annalen, Band XXIII, page 587. Voir aussi 

 un petit travail de Mr. Otto Fischek: Ueber conforme Abbildung gewisser sphärischer Dreiecke durch 

 algebraische Functionen. — Berichte der K. Säclts. Gesellschaft der Wissenschaften, 1S84. 



