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E. G o U R s A T. 



tiens ce résultat qu'en dehors des cas où l'intégrale générale s'exprime au 

 moyen de fonctions algébriques ou de fonctions doublement périodiques, il 

 n'existe qu'un nombre limité d'intégrales rationelles. La troisième partie con- 

 tient le calcul effectif d'un certain nombre de ces intégrales; enfin, dans la 

 dernière partie, je fais quelques applications et je montre en particulier com- 

 ment on peut étendre le problème aux fonctions liypergéométriques d'ordre su- 

 périeur. 



[1.] Soit 



L 



(1) 



d'y 

 dx 



dy 

 dx 



+p-r: + iy 







une équation linéaire du second ordre à coefficients rationnels et à intégrales 

 régulières, et y^ , y^ deux intégrales particulières formant un système fonda- 

 mental. Posons 



on a 



(2) 



(3) 



TJ= Ce 



— i 2) dx 



Ip.J 



p = 



, et inversement 



dVj dy^ 

 dx" d X 



d\ dy^ 

 dx" dx 



D 



? = 



D 



On dira qu'un point x = a est un point ordinaire pour l'équation (1), si l'inté- 

 grale générale est holomorphe dans le domaine du point a et si de plus le 

 déterminant D est différent de zéro pour a; = a. Il suit de là qu'on pourra 

 trouver deux intégrales particulières de l'équation (1) qui, dans ce domaine, 

 auront les formes suivantes 



(4) 



i Y^ = l +a^{x- a) + «, {x - ay+ 



\ Y„^ = {x-a) + ß,{x-ay+.... 



et inversement, s'il existe deux intégrales de la forme (4), le déterminant D ne 



