Recherchen sur Véquation de Kummer. 49 



sera pas nul pour x = a, et les formules (3) montrent que les coefficients p et 

 q sont continus dans les environs de ce point. La réciproque de cette pro- 

 priété résulte du théorème fondamental de Mr. Fucus sur les équations 

 linéaires. 



Si l'un des coefficients p, q n'est pas holomorphe pour x~ a, le point 

 x~ a sera un point singulier pour l'équation (1). L'intégrale générale sera en 

 général discontinue pour x — a; mais il pourra cependant arriver que, cette 

 intégrale ne cessant pas d'être holomorphe dans le domaine du point «, le 

 déterminant I) soit nul pour cette valeur de x. Dans ce cas, le point x = a 

 est, suivant l'expression de Mr. Weierstrass, un point singulier apparent. 

 Dans ce qui précède et ce qui suivi'a, on devra remplacer partout x - 'x> par 



-, et il sera convenu qu'on regarde toujours le point a; = œ comme un point 



singulier pour l'équation (1). 



Il convient maintenant de faire une distinction qui est essentielle pour 

 la suite. Soit x — a un point singulier de l'équation (1); je dirai que ce point 

 appartient à l'une des classes suivantes, d'après les propriétés des racines r, r, 

 de l'équation déterminante fondamentale, relative à ce point: 



\". si la différence r — r n'est pas un nombre entier ou si, cette diffé- 

 rence étant un nombre entier, l'intégrale générale contient un logarithme 

 dans le domaine du point critique, le point x = a sera dit point singulier 

 de première espèce-^ 



2° si la différence r — r est un nombre entier supérieur cà l'unité, 

 sans que l'intégrale générale contienne de logarithme dans le domaine de 

 ce point, le point x = a sera dit point singulier de seconde espèce ; 



3" si la différence r — r est égale à l'unité, sans qu'il entre de lo- 

 garithme dans l'intégrale générale, le point a; = a sera dit point singulier 

 de la troisième espèce. 



Il n'y a pas lieu de distinguer le cas où on aurait r — / = 0; on sait en 

 effet que dans ce cas l'intégrale générale contient toujours un logarithme. 

 Il n'y a pas lieu non plus de faire de distinctions nouvelles pour les points 

 singuliers apparents, qui sont des cas particuliers des points de la seconde ou 

 de la troisième espèce. 



Le rôle particulier que jouent les points singuliers de la troisième espèce 

 tient à cette propriété : on peut toujours les faire disparaître par uu change- 

 ment de fonction tel que 



y^(f{x) z. 

 Soit en effet x — a un point de cette nature, et r, r + l les exposants de 



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