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discontinuité relatifs à ce point. Dans le domaine du point a, on aura pour 

 l'équation (1) les deux intégrales 



2/,= {x-a)\\+ a^ {x-a) + . . .}, 



y^ 



{x-af{\+Ç>^{x- a) + ...); 



si donc on pose y = [x — a) t«, l'équation en n admettra les deux intégrales 

 particulières 



u^ = l + ci^^{x — a) ^- . . . 



M, = (iK - a) + f3„ {x - a)\ . . . 



et par suite, d'après une remarque antérieure, le point x — a sera un point 

 ordinaire pour la nouvelle équation en ii. De plus il est clair que, si un 

 point x = h est un point ordinaire pour l'équation (1), il en sera de même 

 pour l'équation en u, en exceptant toutefois le point x = ce . En continuant 

 de la sorte, on arrivera à débarrasser l'équation proposée de tous ses points 

 singuliers de la troisième espèce; tous les changements de fonction successifs 

 peuvent se ramener à un seul 



2/= «ne«-«,)/ 



où a„ «2 • • • *« s*^'^t ces points singuliers et r„ r^. . . r„ les plus petits expo- 

 sants de discontinuité correspondants. Plus généralement, tout changement de 

 fonction tel que le précédent ne peut modifier que le nombre des points singu- 

 liers de troisième espèce, que l'on peut augmenter ou diminuer à volonté, sans 

 rien changer aux autres, sauf au point x= od . Un changement de fonction ana- 

 logue au précédent peut toujours ramener les points singuliers de la seconde 

 espèce à des points singuliers apparents. 



J'aurai aussi à faire usage des propriétés suivantes, qui résultent bien 

 simplement des définitions. Si une équation du second ordre n'a que des 

 points singuliers de la troisième espèce, on pourra la ramener à la forme 



du 

 dx 

 et l'intégrale générale sera par conséquent 



■y='jl{x-ay{C+C'x). 

 1=1 



Plus généralement, si une équation du second ordre n'a que deux points 



