Rechenlics sur réquation de Kummer. 51 



singuliers de la première csprce et un nombre quelconque de points singuliers 

 de la seconde et de la troisième espèce, l'intégrale générale s'exprime au moyen 

 de symboles élémentaires. 



[2] Considérons une seconde équation analogue à l'équation (l) 



d'v ^clv , ^ ,-, 



OÙ P et Q sont des fonctions rationnelles de t. On peut toujours, en posant: 

 X = cp (t), V = iv y, où (f et iv sont des fonctions de t, passer de l'équation (1) 

 h l'équation (5). En posant x = (f (t), l'équation (1) devient: 



l d y r p x" 



tut l X X 



dy 



77 + 5^ = 0, 



a t 



1 ,5 



en appelant a;', ri" les dérivées — ? ~ z! eu \}O^SA\i v — w y, l'équation (5) devient 



dt dt 



w /, +{Pw + 2w')y- + {Q w + Fw'+iv") v/ = 0. 

 Uf t Cl t 



On devra donc avoir: 



(6) px-'^ = 2l + P, 



if t 



, iV W 



(7) qx^^^+P-+Q. 

 L'élimination de îv conduit à une équation du troisième ordre 



x" ^(x'X 1 \ ^ dp\ ,^ \ -^ dP 



X 



(8) 7'-9 V^ 2,-,,;-^^U-' = 2(3-kP- 



2\x'l \-'^~'2^' dxr ~"^ 2" dt 



Si cette dernière équation admet une intégrale rationnelle, l'équation (G) mon- 



IV 



tre que sera aussi une fonction rationnelle de t et l'intégration de l'équation 



w 



(5) sera ramenée à l'intégration de l'équation (1). 



[3.] Le but de ce travail est de rechercher les intégrales rationnelles de 

 l'équation (8) lorsque les coefficients p, q, P, Q ont les formes suivantes : 



