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Q O 



E. G o U R s A T. 



A x'^i- B x+ c 



P = 



X X— v 



Q ö' 



2 



Q = 



X (x—\) 

 Ä'f+B't+C 



nt-iy ' 



t t- r 



les équations considérées sont alors 



(9) x{x - l)'-4 + (^ + 0-) * - 9 x{x-\y^ + {Ä x"+ Bx+C)i/ = 0, 



(10) t\i - ] )' -^, + L/+ (5') ,; - ^'1 tit -i)'[^^+(A'f+B't+ C") v = O, 



et f L J (It 



et l'équation (8) correspondante devient: 



l)x+\-):' ., 



(11) 



a; 



X 



3 /x \ (1 - v ) X +{X + v - n 



2 W i""" 2 a;'(a; -IJ 



(1 - v'') f+ (X''+ v'- ft-'- 1) ^ + (1 - X'') 



2t\f-iy 



■X 



X, (t, v, X', fl', 1-' ayant les valeurs suivantes: 



2'= {q - 1) - 4 C, f/- (ö - 1)'- 4 (^ + B + C) , v"= (q + o- - 1) - 4 ^, 

 A' = (c'- 1)"-- 4 C", {/'= (ö'- 1)'- 4 (^'+ 5'+ C") ,'"= {q'+ ö- 1)"-- 4 A'. 



Il est aisé de trouver la signification de ces quantités: X, par exemple, 

 est égal à la différence des racines de l'équation déterminante fondamentale 

 de l'équation (9) relative au point critique x = 0, et les autres quantités ont 

 des significations analogues. 



Les équations (9) et (10) sont caractérisées comme un sait par cette pro- 

 priété d'avoir toutes leurs intégrales régulières et de n'admettre d'autres points 

 singuliers que les points 0, l,ao, toutes les autres valeurs de a; étant des points 

 ordinaires. C'est au fond la définition de Riemann, légèrement modifiée pour 

 qu'elle se prête mieux à l'étude de la présente question. Supposons que 

 l'équation (1) admette une intégrale rationnelle x = cf>(t); si dans l'équation (9) 

 on fait le changement de variable x = (p (t), on arrive à une nouvelle équation 

 du second ordre 



(12) 



d y dy 



dont les coefficients seront rationnels et qui aura aussi toutes ses intégrales 



