Recherches sur V équation de Kummer. 53 



régulières. D'autre part, on pourra passer de l'équation (10) à la nouvelle 

 équation (12) en posant v = w y^ on devra donc avoir 



et par suite iv = e '■ ^ , expression qui est de la forme 



Or nous avons remarqué au premier paragraphe qu'un pareil change- 

 ment de fonction ne peut modifier que le nombre des points singuliers de 

 troisième espèce; de sorte que l'équation (12) ne devra avoir que des points 

 singuliers de cette nature, outre les points 0, 1, oo . Inversement, si cette 

 condition est remplie, on sait qu'on pourra, par un changement convenable de 

 fonction, faire disparaître de l'équation (12) tous les points singuliers de troi- 

 sième espèce et par suite être ramené à une équation de la forme (10). La 

 fonction cp (t) sera donc une intégrale de l'équation de Kummer, pour des va- 

 leurs convenables de A', ;/, ;■'. En définitive, le problème qu'il s'agit de traiter 

 est équivalent à celui-ci : 



Quelles doivent être les propriétés de la fonction rationnelle cp {t) pour- que 

 ïéqucUion (12), que Von déduit de V équation [Q) par le changement de variable 

 x = if{t), ne possède, outre les points 0, 1, oo, que des points singuliers de 

 troisième espèce? 



[4.] Soit a une valeur de t, différente de 0, 1, co et soit b la valeur 

 correspondante de x ; deux cas sont à distinguer suivant que la valeur b est 

 elle-même différente ou non de 0, 1, oo . 



T'' Cas. Supposons que b soit différent de 0, 1, co . Dans le domaine 

 du point x = b, l'équation (9) admet les deux intégrales particulières distinctes : 



y,= 1 + «„ (x — b) + -■^ 

 !J.,={x~b)+ß„{x-bf+■■■ 

 ^oit m l'ordre de multiplicité de la racine t = a de l'équation (p (t) — b; 

 on aura 



^-^ = ïo{i~ «)'"+ r, {t - «)"'"^*+ • • • 



oii j',, est différent de zéro, et l'équation (12) admettra dans le domaine du 

 point a les deux intégrales particulières distinctes: 



