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?/=(^-«)"'+e„(#-«r^" + --- 



Si m est supérieur à l'unité, le point t = a sera un point singulier de 

 deuxième espèce pour l'équation (12) et un point ordinaire si m = 1. On voit 

 donc que t = a devra être racine simple de l'équation (p (t) = b. 



2"'" Cas. Supposons que h ait l'une des valeurs 0, 1, go. Prenons par 

 exemple i = ; le raisonnement est tout-à-fait général. Soient r, / les racines 

 de l'équation déterminante fondamentale de l'équation (9) relative au point 

 x = 0\ il est clair que l'intégrale ne devra pas contenir de logarithme dans 

 le domaine du point a; = 0, car l'intégrale générale de l'équation (12) en con- 

 tiendrait aussi dans le domaine du point t = a, qui ne pourrait être dans ce 

 cas un point singulier de troisième espèce. L'équation (9) admettra les deux 

 intégrales^ particulières 



«/,= «'{ 1 + «, ic-l-«, x' -{■■■) 



si m est le degré de multiplicité de la racine t = a de l'équation cf {t) = 0, 

 on aura, dans le voisinage de cette valeur de t, 



x = rAt- «)'"+ r, (i - «)'""^' + • • • où 3'„ö 0, 



et l'équation (12) admettra, dans le domaine du point t = a, les deux intégrales 

 particulières 



y = {t-a)""'{l +d„{t- a) +■■■}, 

 * p,= it-ar'\\+e„{t- a) +■■■). 



On voit que le point t=a sera pour l'équation (12) un point singulier 

 de première ou de seconde espèce, à moins que la différence mr— mr ne soit 

 égale à l'unité. Il faudra donc que r — r soit l'inverse d'un nombre entier 

 supérieur à l'unité*). Si a est une autre racine de l'équation 9 {t) = 0, diffé- 

 rente de 0,1, GO et m' son degré de multiplicité, on devra avoir aussi m'= ,_ 



et par suite m'= m. Le même raisonnement s'applique aux racines des équa- 

 tions <p (^) = 1, (p (i!) = 00 , et, en résumé, pour qu'une fonction rationnelle (f>{t) 



*) J'ai omis à dessein de parler du cas où on aurait r'—r=\. Dans ce cas en effet, si l'inté- 

 grale générale ne contient pas de logarithme dans le domaine du point a; = 0, ce point est un point 

 singulier de troisièir.e espèce. L'intégrale s'exjirime au moyeu de symboles élémentaires, et le pro- 

 blème auquel on serait coudiiit parait déuué de tout intérêt. 



