Recherches sur féquaiio)! de Kummer. 55 



puisse être une intégrale de l'équation de Kummek (11), il faut et il suffit 

 qu'elle possède les propriétés suivantes: 



i;' Pour toute valeur de b, différente de 0, 1, oo , les racines de 

 Céquation cp (t) = b, qui ne sont ni 0, ni l, ni oo , sont racines simples. 



2" Les racines des trois équations <p (t) = , (p{t) =^ l , tp (t) = oo ^ 

 qui ne sont ni 0, ni 1 , ni ce , sont racines multiples, au même degré de 

 multiplicité pour chacune déciles. 



Etant donnée une fonction rationnelle jouissant de ces propriétés, les va- 

 leurs correspondantes de X, (i, v, l', ;<', v, s'obtiendront comme il suit. Si 

 l'équation qi (t) = admet une racine multiple d'ordre m qui ne soit ni 0, 



1 



ni 1, m GO, on devra avoir ;i-= ^y^^-; si aucune des racines de cette équation 



n'est différente de 0, 1, co , A n'est assujetti à aucune condition. On trouve 

 de même (i et i-. Une fois X, ;i, v convenablement clioisis, A', (t\ v s'obtien- 

 dront par des considérations analogues ; par exemple, si l'équation (p(t) = 

 admet la racine t - au degré r de multiplicité, la différence des racines de 

 l'équation déterminante fondamentale de l'équation (12) relative au point cri- 

 tique t = sera r X et, comme cette différence ne change pas quand on passe 

 de l'équation (12) à l'équation (10), on aura aussi A'''= A%\ Le raisonnement 

 est du reste tout-à-fait général. 



o"- 



[5.] On arrive aux mêmes conclusions par une étude directe de l'équa- 

 tion (11). Posons 



„ a/"_3/îc">' (1 - /'') x'+ (aV v'- ^t'- l)x+ 1 - X '' ,2 



lll^J- / 2^7'*" 2xXx-iy ^ ' 



et soit * (t) le résultat obtenu en remplaçant dans JT (x) x par une fonction 

 rationnelle q (t). Proposons-nous de rechercher dans quels cas ce résultat sera 

 de la forme 



Lt'+Mt + N ^ 

 2f{t-lf ' 



<I> (t) est évidemment une fonction rationnelle, qu'il suffira d'étudier dans le voi- 

 sinage de ses pôles. Soit a une valeur différente de 0^ 1, go ; le point t = a 

 pourra être un pôle de (D (t) si la valeur correspondante b de x est l'une des 

 valeurs 0, 1, oo^ ou bien si t = a est racine multiple de l'équation cp (t) = b. 



