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Prenons d'abord cette dernière hypothèse, et soit m le degré de multiplicité 

 de la racine a. Dans le voisinage du point t = a, on aura 



x-b = {t- ay"[A^+ A^ {t-a)-\- A„ {t - a) V • • •], où Axx 0, 



a;'= {t - «)'"-'[« ^„+ (m + 1) A^ {t~a)+-- ■], 



x"= (t - a)"'~"[w* (m - 1) ^^+ [m + \)mA^{t- a)A — ]j 



= {t- aT'\m {m - 1) («« - 2) 4„ + {m + l) îk (»» - i) A^ [t - a) +■■ ■]• 



Par suite 



m 



X 



m 



(m — 1) {m — 2) ^^+ (m + 1) m (w - l) A^ (t - a) + . . . 



X {t-a)'\. m4^+ (w+ 1) ^,(^ — a) +... 



et, en calculant les premiers termes du quotient, 

 x" (m - 1) {m - 2) 2 (m^- 1)4, 1 



On trouve de même 



]. 



x OT — 1 m+ 1 A 



-> --. + 



X t— a m 



2^ + (3,(^-a) + 



x'\ '_ {m - ly 2 (m'- 1) A^ 1 



Dans le voisinage du point t = a,~, -^ (^ , j sera donc de la forme 

 K- 1 ) (m'-l)4, 1 ^ 



~2(^-af-"^;rjr^^^+''"+''^^^""^+--- 



D autre part, l'expression ^^ Sr^T W"^ *= l'este 



finie pour t = a; de sorte que le point t = a sera un pôle pour (i> (^), à moins 

 que l'on n'ait m = l, c'est-à-dire que a soit racine simple de l'équation 

 cp{t) = h. 



Supposons en second lieu qu'à la valeur a de t corresponde pour x une 

 des valeurs 0, 1, œ , par exemple x = 0. Soit m le degré de multiplicité de 

 la racine a de l'équation ç> (;;) = 0. Dans le voisinage du point t = a, on aura, 

 comme nous venons de le voir. 



