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E. G o U K s A T. 



admettrait le pôle t = a^ à moins que l'on n'ait à la fois 2'= 1, ;<"= /'"; c'est le 

 cas singulier qui a été laissé (le côté. 



Nous trouvons donc pour cp [t) les mêmes conditions que par la première 

 méthode ; on peut voir aussi directement que ces conditions nécessaires sont 

 suffisantes. En effet, si elles sont remplies, f/' (f) ne pourra devenir infini 

 pour aucune valeur finie de t, sauf pour les valeurs et 1, et le calcul déjà 

 fait montre que ces points ne pourront être que des pôles du second ordre. 

 On aura donc 



i, {t) 



*W = r-(^-if 



»/' {t) désignant une fonction entière de t. Si maintenant dans la relation 



3 (x'\ (1 - r") x"-+ (r+ ir- tr- 1) a; + 1 



X 



x' (x - ly- 



-X ' = 





on pose t = -, elle devient : 



cVx 



du^ 3 

 dx 2 

 du 



d^x 

 dii^ 



dx 

 du 



(1 - v^) a:'+ (r+ v^- ft'- 1) a; + 1 - r fd x 



2x'{x- ly 



du) \uj \u—l 



Le premier membre de cette relation est analogue à II (x) ; par suite u = 

 doit être un pôle du second ordre ; ce qui exige que ij) soit du second degré 

 seulement et <£> (t) sera bien de la forme 



Lf-+3It + N 



~^f(t-iy ' 



ou, ce qui revient au même, de la forme 



(1 - y"') f+ {X'' + y'"'- ji" - 1) ;; + 1 - >^ '" 



27(f^\y 



Le calcul de 2', ft', i/ par cette méthode s'effectue aussi sans difficulté. 

 Par exemple, supposons que t = soit une racine d'ordre r de multiplicité de 

 l'équation 9? (t) = 0. Le point ^ == sera un pôle du second ordre pour (f> (t) 



et le coeft'icient de -^ sera, comme nous l'avons vu plus haut, - (1 — r'A'); d'autre 



part, le coefficient de ji dans le second membre décomposé en fractions 



