Rcchcrclirs sur l'rquafion de Kummer. 59 



simples est ^(1 -A"). On aura donc À'-=r-r: comme nons l'avions déjcà trouvé, 

 et on calculerait de même ;<' et r. 



IL 



[6.] La recherche des solutions rationnelles de l'équation de Kummer se 

 trouve ainsi ramenée à un problème d'algèbre. Ce problème peut lui-même 

 être subdivisé en plusieurs cas particuliers de diftérentes façons, suivant le 

 point de vue auquel on se place. La distinction la plus importante est celle-ci- 

 il peut se faire que les valeurs de x qui correspondent aux valeurs 0, 1, ce 

 de ;" soient elles-mêmes parmi les valeurs 0, 1, co , de sorte que l'équation 

 (10) ait réellement les trois points singuliers 0, 1, co . C'est là le cas 

 général que nous allons d'abord étudier. Soit x = q (t) une fonction ration- 

 nelle répondant à la question ; désignons i>ar P, Q, M trois fonctions entières 

 de t sans facteurs communs, ni facteurs multiples, n'admettant pour racines ni 

 ni 1, et par :r^, jr„, jr^ trois exi)ressions de la forme f (t — l)" où r et s 

 sont des nombres entiers positifs ou nuls. On aura, d'après les propriétés de 

 la fonction (f (t), 



X^ . xi Jt^ . ±C 



et par suite l'identité 



(13) :r,P"'-:r,Ö"=:r,i?!' 



Soient m, n, p les degrés respectifs des polynômes P, Ç, P; m,n,p seront 

 des nombres entiers positifs > 1, sauf dans le cas où le degré du polynôme corre- 

 spondant serait nul, et nous avons vu que dans ce cas ces nombres étaient 

 arbitraires. Je ferai remarquer en outre que les facteurs ^ et 1 — ^ ne figurent 

 que dans l'un des produits jr,, jr,, :r^ et que l'un des trois termes de l'iden- 

 tité est d'un degré inférieur à celui des deux autres, de façon que la valeur 

 t = ce corresponde à une des valeurs 0, 1, oo de a;. 



A chaque intégrale rationnelle de l'équation de Kummer correspond une 

 identité de la forme (13), mais la réciproque n'est pas vraie. Etant donnée 

 une identité telle que (13), on en déduit une fonction rationnelle 



nP'" 



