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qui satisfait bien à la seconde des conditions du n" 4, mais rien ne prouve 

 jusqu' ici qu'elle satisfait aussi à la première, et il n'en est pas nécessairement 

 ainsi. Par exemple la formule 



{f+ 1 - \y- {e- 1 + iy= 4 f{t - 1) 



est bien de la forme (13) et cependant la fraction rationnelle 



^ - \f- 1 + 1/ 



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 ne répond pas à la • question, car pour x-=-^ elle admet la racine double 



t = 2. Plus généralement la fraction rationnelle 



_ \ t+ (t - 1) "V 

 ^-V'-(^-l)"T 



où n est différent de n, admet une racine double pour la valeur de x qui 



n 

 correspond à la valeur —3;— 7 de t, quoique l'identité 



|^"+ {t - 1)"' I - h"~ {t - 1)" J'^ 4:t"(t- 1)"' 



soit de la forme (13).. Il en serait de même de la fraction rationnelle 



[t"+{t-iy'i+åjt"(t- lyy 



[r+ (t - 1)«'+ 4/ r (t - 1)"']" 



où j, f désignent les racines cubiques imaginaires de l'unité, et on pourrait 

 multiplier les exemples. Il y a donc lieu de rechercher à quelles conditions 

 une formule (13) donne une intégrale de l'équation de Kummer. Soient N, N', N" 

 les nombres des racines des trois équations q (t) = 0, cp (t) =1, (p (f) = œ qui 

 ont une des valeurs 0, 1, 00, chacune étant comptée avec son degré de mul- 

 tiplicité. On a entre ces divers nombres les relations évidentes 



N + m m = N'+ n n = N"+ 2U^\ 



N-\-N'+N"^3; 



si l'identité (13) fournit une intégrale de l'équation (11), les divers nombres 

 m, n, p, m', . . . vérifient en outre une relation que nous allons établir. 

 Des expressions ci-dessus de a; et de a; — 1 on déduit 



dx_ «P 



X =1 



